केली रूपांतरण

गणित में, आर्थर केली के नाम पर केली रूपांतरण, संबंधित चीजों का एक समूह है। जैसा कि मूल रूप से वर्णित है Cayley (1846), केली रूपांतरण तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित मैट्रिक्स और विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के बीच एक मानचित्रण है। परिवर्तन वास्तविक विश्लेषण, जटिल विश्लेषण और चतुष्कोणीय विश्लेषण में प्रयुक्त एक होमोग्राफी है। हिल्बर्ट रिक्त स्थान के सिद्धांत में, केली रूपांतरण रैखिक ऑपरेटरों के बीच एक मानचित्रण है (Nikol’skii 2001).

रियल होमोग्राफी

केली रूपांतरण वास्तविक प्रक्षेपी रेखा का एक ऑटोमोर्फिज्म है जो अनुक्रम में {1, 0, -1, ∞} के तत्वों को क्रमबद्ध करता है। उदाहरण के लिए, यह सकारात्मक वास्तविक संख्याओं को अंतराल [−1, 1] में मैप करता है। इस प्रकार केली रूपांतरण का उपयोग लिजेंड्रे बहुपदों को अनुकूल बनाने के लिए किया जाता है ताकि लेजेंड्रे तर्कसंगत कार्यों के साथ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर कार्यों के साथ उपयोग किया जा सके।

वास्तविक होमोग्राफी के रूप में, बिंदुओं को प्रोजेक्टिव निर्देशांक के साथ वर्णित किया गया है, और मैपिंग है

$[y,\ 1]=\left[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1\right]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.$

जटिल होमोग्राफी

यूनिट डिस्क में अपर कॉम्प्लेक्स हाफ-प्लेन का केली रूपांतरण

रीमैन क्षेत्र पर, केली रूपांतरण है:

$f(z)={\frac {z-i}{z+i}}.$

चूँकि {∞, 1, –1 } को {1, –i, i } में मैप किया जाता है, और मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन जटिल विमान में सामान्यीकृत सर्कल को अनुमति देता है, f वास्तविक रेखा को यूनिट सर्कल में मैप करता है। इसके अलावा, चूँकि f निरंतर मैपिंग है और i को f द्वारा 0 पर ले जाया जाता है, ऊपरी आधे-प्लेन को यूनिट डिस्क पर मैप किया जाता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के गणितीय मॉडल के संदर्भ में, यह केली रूपांतरण पॉइनकेयर आधा-प्लेन मॉडल को पॉइंकेयर डिस्क मॉडल से संबंधित करता है। विद्युत अभियांत्रिकी में केली रूपांतरण का उपयोग ट्रांसमिशन लाइनों के प्रतिबाधा मिलान के लिए उपयोग किए जाने वाले स्मिथ चार्ट के विद्युत प्रतिघात अर्ध-विमान को मैप करने के लिए किया गया है।

चार का समुदाय होमोग्राफी

चतुष्कोणों के चार आयामी स्थान में q = a + b i + c j + d k, छंद

$u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta$ इकाई 3-गोला बनाएँ।

चूंकि चतुष्कोण गैर-कम्यूटेटिव हैं, रिंग के ऊपर इसकी प्रक्षेप्य रेखा के तत्वों में यू (ए, बी) लिखे गए सजातीय निर्देशांक हैं, यह इंगित करने के लिए कि सजातीय कारक बाईं ओर गुणा करता है। चतुष्कोणीय परिवर्तन है

$f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[q-u,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(q-u),\ 1].$

ऊपर वर्णित वास्तविक और जटिल समरूपता क्वाटरनियन होमोग्राफी के उदाहरण हैं जहां θ क्रमशः शून्य या π/2 है। स्पष्ट रूप से परिवर्तन u → 0 → -1 लेता है और -u → ∞ → 1 लेता है।

क्यू = 1 पर इस होमोग्राफी का मूल्यांकन वर्सर यू को अपनी धुरी में मैप करता है:

$f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.$

लेकिन $|1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{and}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .$ इस प्रकार $f(u,1)=-r{\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.$ इस रूप में केली रूपांतरण को रोटेशन के तर्कसंगत पैरामीट्रिजेशन के रूप में वर्णित किया गया है: जटिल संख्या पहचान में t = tan φ/2 दें

$e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}=\frac{1-<!--\; -\; -->t}{}$