केली रूपांतरण

गणित में, आर्थर केली के नाम पर केली रूपांतरण, संबंधित चीजों का एक समूह है। जैसा कि मूल रूप से वर्णित है Cayley (1846), केली रूपांतरण तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित मैट्रिक्स और विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के बीच एक मानचित्रण है। परिवर्तन वास्तविक विश्लेषण, जटिल विश्लेषण और चतुष्कोणीय विश्लेषण में प्रयुक्त एक होमोग्राफी है। हिल्बर्ट रिक्त स्थान के सिद्धांत में, केली रूपांतरण रैखिक ऑपरेटरों के बीच एक मानचित्रण है (Nikol’skii 2001).

रियल होमोग्राफी

केली रूपांतरण वास्तविक प्रक्षेपी रेखा का एक ऑटोमोर्फिज्म है जो अनुक्रम में {1, 0, -1, ∞} के तत्वों को क्रमबद्ध करता है। उदाहरण के लिए, यह सकारात्मक वास्तविक संख्याओं को अंतराल [−1, 1] में मैप करता है। इस प्रकार केली रूपांतरण का उपयोग लिजेंड्रे बहुपदों को अनुकूल बनाने के लिए किया जाता है ताकि लेजेंड्रे तर्कसंगत कार्यों के साथ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर कार्यों के साथ उपयोग किया जा सके।

वास्तविक होमोग्राफी के रूप में, बिंदुओं को प्रोजेक्टिव निर्देशांक के साथ वर्णित किया गया है, और मैपिंग है

$[y,\ 1]=\left[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1\right]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.$

जटिल होमोग्राफी

यूनिट डिस्क में अपर कॉम्प्लेक्स हाफ-प्लेन का केली रूपांतरण

रीमैन क्षेत्र पर, केली रूपांतरण है:

$f(z)={\frac {z-i}{z+i}}.$

चूँकि {∞, 1, –1 } को {1, –i, i } में मैप किया जाता है, और मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन जटिल विमान में सामान्यीकृत सर्कल को अनुमति देता है, f वास्तविक रेखा को यूनिट सर्कल में मैप करता है। इसके अलावा, चूँकि f निरंतर मैपिंग है और i को f द्वारा 0 पर ले जाया जाता है, ऊपरी आधे-प्लेन को यूनिट डिस्क पर मैप किया जाता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के गणितीय मॉडल के संदर्भ में, यह केली रूपांतरण पॉइनकेयर आधा-प्लेन मॉडल को पॉइंकेयर डिस्क मॉडल से संबंधित करता है। विद्युत अभियांत्रिकी में केली रूपांतरण का उपयोग ट्रांसमिशन लाइनों के प्रतिबाधा मिलान के लिए उपयोग किए जाने वाले स्मिथ चार्ट के विद्युत प्रतिघात अर्ध-विमान को मैप करने के लिए किया गया है।

चार का समुदाय होमोग्राफी

चतुष्कोणों के चार आयामी स्थान में q = a + b i + c j + d k, छंद

$u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta$ इकाई 3-गोला बनाएँ।

चूंकि चतुष्कोण गैर-कम्यूटेटिव हैं, रिंग के ऊपर इसकी प्रक्षेप्य रेखा के तत्वों में यू (ए, बी) लिखे गए सजातीय निर्देशांक हैं, यह इंगित करने के लिए कि सजातीय कारक बाईं ओर गुणा करता है। चतुष्कोणीय परिवर्तन है

$f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[q-u,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(q-u),\ 1].$

ऊपर वर्णित वास्तविक और जटिल समरूपता क्वाटरनियन होमोग्राफी के उदाहरण हैं जहां θ क्रमशः शून्य या π/2 है। स्पष्ट रूप से परिवर्तन u → 0 → -1 लेता है और -u → ∞ → 1 लेता है।

क्यू = 1 पर इस होमोग्राफी का मूल्यांकन वर्सर यू को अपनी धुरी में मैप करता है:

$f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.$

लेकिन $|1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{and}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .$ इस प्रकार $f(u,1)=-r{\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.$ इस रूप में केली रूपांतरण को रोटेशन के तर्कसंगत पैरामीट्रिजेशन के रूप में वर्णित किया गया है: जटिल संख्या पहचान में t = tan φ/2 दें

$e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}$

जहाँ दाहिनी ओर t i का रूपांतर है और बाएँ हाथ की ओर नकारात्मक φ रेडियन द्वारा विमान के घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है।

उलटा

होने देना $u^{*}=\cos \theta -r\sin \theta =u^{-1}.$ तब से

${\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\ \sim \ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\ ,$

जहां चतुष्कोणों पर प्रक्षेपी रैखिक समूह में समतुल्यता है, f(u, 1) का व्युत्क्रम कार्य है

$U[p,1]{\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ U[p+1,\ (1-p)u^{*}]\sim U[u(1-p)^{-1}(p+1),\ 1].$

चूंकि समरूपताएं आपत्तियां हैं, $f^{-1}(u,1)$ वेक्टर चतुष्कोणों को छंदों के 3-क्षेत्रों में मैप करता है। जैसा कि छंद 3-स्पेस में घुमावों का प्रतिनिधित्व करते हैं, होमोग्राफी f ⁻¹ गेंद से ℝ में घुमाव उत्पन्न करता है^{3</उप>।}

मैट्रिक्स मानचित्र

वास्तविक संख्या पर n×n स्क्वायर मैट्रिक्स के बीच, I पहचान मैट्रिक्स के साथ, A को कोई तिरछा-सममित मैट्रिक्स होने दें (ताकि A^{टी</सुप> = -ए).}

फिर I + A उलटा मैट्रिक्स है, और केली ट्रांसफॉर्म है

$Q=(I-A)(I+A)^{-1}\,\!$

एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स उत्पन्न करता है, Q (ताकि Q^टीक्यू = मैं)। ऊपर क्यू की परिभाषा में मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए क्यू को वैकल्पिक रूप से परिभाषित किया जा सकता है $Q=(I+A)^{-1}(I-A)$. वास्तव में, क्यू में निर्धारक +1 होना चाहिए, इसलिए विशेष ऑर्थोगोनल है।

इसके विपरीत, Q को कोई भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स होने दें, जिसमें -1 एक eigenvalue के रूप में नहीं है; तब

$A=(I-Q)(I+Q)^{-1}\,\!$

एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है।

See also: involution

क्यू पर शर्त स्वचालित रूप से निर्धारक -1 के साथ मेट्रिसेस को बाहर करती है, लेकिन कुछ विशेष ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस को भी बाहर करती है।

थोड़ा अलग रूप भी देखने को मिलता है, प्रत्येक दिशा में अलग-अलग मैपिंग की आवश्यकता होती है,

${\begin{aligned}Q&{}=(I-A)^{-1}(I+A)\\A&{}=(Q-I)(Q+I)^{-1}\end{aligned}}.$

मैपिंग को उलटे कारकों के क्रम के साथ भी लिखा जा सकता है; हालांकि, ए हमेशा (μI ± A) के साथ यात्रा करता है^-1, इसलिए पुनर्क्रमित करने से परिभाषा प्रभावित नहीं होती है।

उदाहरण

2×2 मामले में, हमारे पास है

${\begin{bmatrix}0&\tan {\frac {\theta }{2}}\\-\tan {\frac {\theta }{2}}&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.$

180° रोटेशन मैट्रिक्स, -I, को बाहर रखा गया है, हालांकि यह टैन के रूप में सीमा है^θ⁄₂ अनंत तक जाता है।

3×3 मामले में, हमारे पास है

${\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\frac {1}{K}}{\begin{bmatrix}w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2(xy-wz)&2(wy+xz)\\2(xy+wz)&w^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(wx+yz)&w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}},$

जहां के = डब्ल्यू² + x² + और² + के साथ², और जहाँ w = 1। इसे हम चतुर्धातुक के अनुरूप रोटेशन मैट्रिक्स के रूप में पहचानते हैं

$w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z\,\!$

(एक सूत्र के अनुसार केली ने एक साल पहले प्रकाशित किया था), सिवाय स्केल किए हुए ताकि सामान्य स्केलिंग के बजाय w = 1 ताकि w² + x² + और² + के साथ² = 1. इस प्रकार सदिश (x,y,z) रोटेशन की इकाई अक्ष है जिसे tan द्वारा स्केल किया गया है^θ⁄₂. फिर से बहिष्कृत 180 डिग्री रोटेशन हैं, जो इस मामले में सभी क्यू हैं जो सममित मैट्रिक्स हैं (ताकि क्यू^टी = क्यू).

अन्य मैट्रिक्स

ओर्थोगोनल और तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स के लिए एकात्मक मैट्रिक्स को प्रतिस्थापित करके मैपिंग को जटिल संख्या मेट्रिसेस तक बढ़ाया जा सकता है। तिरछा-सममित के लिए तिरछा-हर्मिटियन, अंतर यह है कि स्थानान्तरण (·^T) संयुग्मी स्थानांतरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (·^{एच</सुप>). यह मानक वास्तविक आंतरिक उत्पाद को मानक जटिल आंतरिक उत्पाद के साथ बदलने के अनुरूप है। वास्तव में, ट्रांसपोज़ या कॉन्जुगेट ट्रांसपोज़ के अलावा हर्मिटियन के विकल्पों के साथ परिभाषा को और आगे बढ़ाया जा सकता है।}

औपचारिक रूप से, परिभाषा के लिए केवल कुछ अपरिवर्त्यता की आवश्यकता होती है, इसलिए क्यू के लिए किसी भी मैट्रिक्स एम को स्थानापन्न किया जा सकता है, जिसके आइगेनवेल्यू में -1 शामिल नहीं है। उदाहरण के लिए,

${\begin{bmatrix}0&-a&ab-c\\0&0&-b\\0&0&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}1&2a&2c\\0&1&2b\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

ध्यान दें कि ए तिरछा-सममित (क्रमशः, तिरछा-हर्मिटियन) है अगर और केवल अगर क्यू ओर्थोगोनल (क्रमशः, एकात्मक) है जिसका कोई आइगेनवैल्यू -1 नहीं है।

ऑपरेटर मानचित्र

एक आंतरिक उत्पाद स्थान का एक अनंत-आयामी संस्करण हिल्बर्ट स्थान है, और कोई अब मैट्रिक्स (गणित) के बारे में बात नहीं कर सकता है। हालाँकि, मैट्रिसेस केवल रैखिक ऑपरेटरों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और इनका उपयोग किया जा सकता है। इसलिए, मैट्रिक्स मैपिंग और जटिल प्लेन मैपिंग दोनों को सामान्यीकृत करते हुए, कोई ऑपरेटरों के केली ट्रांसफॉर्म को परिभाषित कर सकता है।

${\begin{aligned}U&{}=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\\A&{}=\mathbf {i} (I+U)(I-U)^{-1}\end{aligned}}$

यहाँ U, dom U, का डोमेन (A+'i'I) dom A है। अधिक जानकारी के लिए सेल्फ़-एडजॉइंट ऑपरेटर#एक्सटेंशन ऑफ़ सिमेट्रिक ऑपरेटर्स|सेल्फ़-एडज्वाइंट ऑपरेटर देखें।

यह भी देखें

• बिलिनियर परिवर्तन
• सममित ऑपरेटरों के एक्सटेंशन

संदर्भ

• Sterling K. Berberian (1974) Lectures in Functional Analysis and Operator Theory, Graduate Texts in Mathematics #15, pages 278, 281, Springer-Verlag ISBN 978-0-387-90081-0
• Cayley, Arthur (1846), "Sur quelques propriétés des déterminants gauches", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 32: 119–123, doi:10.1515/crll.1846.32.119, ISSN 0075-4102; reprinted as article 52 (pp. 332–336) in Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, vol. I (1841–1853), Cambridge University Press, pp. 332–336
• Lokenath Debnath & Piotr Mikusiński (1990) Introduction to Hilbert Spaces with Applications, page 213, Academic Press ISBN 0-12-208435-7

• Gilbert Helmberg (1969) Introduction to Spectral Theory in Hilbert Space, page 288, § 38: The Cayley Transform, Applied Mathematics and Mechanics #6, North Holland
• Henry Ricardo (2010) A Modern Introduction to Linear Algebra, page 504, CRC Press ISBN 978-1-4398-0040-9 .

बाहरी संबंध

• Cayley's parameterization of orthogonal matrices at PlanetMath.

• Nikol’skii, N. K. (2001), "Cayley transform", Encyclopaedia of Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-0609-8; translated from the Russian Vinogradov, I. M., ed. (1977), Matematicheskaya Entsiklopediya, Moscow: Sovetskaya Entsiklopediya