सम्मिश्र संयुग्म मूल प्रमेय

गणित में, जटिल संयुग्म मूल प्रमेय बताता है कि यदि P वास्तविक संख्या गुणांक वाले एक चर में एक बहुपद है, और a + bi, P' के बहुपद का मूल है ' a और b वास्तविक संख्याओं के साथ, तो इसका जटिल संयुग्म a − bi भी P का एक मूल है। यह इस (और बीजगणित के मौलिक प्रमेय) से अनुसरण करता है कि, यदि वास्तविक बहुपद के बहुपद की डिग्री समता (गणित) है, तो इसमें कम से कम एक वास्तविक जड़ होनी चाहिए। वह तथ्य मध्यवर्ती मान प्रमेय का उपयोग करके गणितीय प्रमाण भी हो सकता है।

उदाहरण और परिणाम

• बहुपद x² + 1 = 0 की जड़ें ± i.
• विषम डिग्री के किसी भी वास्तविक स्क्वायर मैट्रिक्स में कम से कम एक वास्तविक eigenvalue होता है। उदाहरण के लिए, यदि मैट्रिक्स (गणित) ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, तो 1 या -1 एक ईगेनवैल्यू है।
• बहुपद

$x^{3}-7x^{2}+41x-87$

जड़ें हैं

$3,\,2+5i,\,2-5i,$

और इस प्रकार के रूप में तथ्य किया जा सकता है

$(x-3)(x-2-5i)(x-2+5i).$

पिछले दो कारकों के उत्पाद की गणना करने में, काल्पनिक भाग रद्द हो जाते हैं, और हमें मिलता है

$(x-3)(x^{2}-4x+29).$

अवास्तविक गुणनखंड युग्मों में आते हैं जिन्हें गुणा करने पर वास्तविक गुणांकों के साथ द्विघात बहुपद प्राप्त होते हैं। चूंकि जटिल संख्या गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को प्रथम-डिग्री कारकों (जो कि बीजगणित के मौलिक प्रमेय को बताने का एक तरीका है) में शामिल किया जा सकता है, यह इस प्रकार है कि वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को 2 से अधिक डिग्री के कारकों में विभाजित किया जा सकता है: बस प्रथम-डिग्री और द्विघात कारक।

• यदि जड़ें हैं a+bi और a−bi, वे द्विघात बनाते हैं

$x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2})$.

यदि तीसरा मूल है c, यह बन जाता है

$(x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2}))(x-c)$

$=x^{3}+x^{2}(-2a-c)+x(2ac+a^{2}+b^{2})-c(a^{2}+b^{2})$.

विषम डिग्री बहुपदों पर परिणाम

यह वर्तमान प्रमेय और बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अनुसरण करता है कि यदि वास्तविक बहुपद की डिग्री विषम है, तो इसमें कम से कम एक वास्तविक जड़ होनी चाहिए।

इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है।

• चूंकि गैर-वास्तविक जटिल जड़ें संयुग्मी युग्मों में आती हैं, इसलिए उनकी संख्या सम होती है;
• लेकिन विषम कोटि के बहुपद के मूलों की संख्या विषम होती है;
• इसलिए उनमें से कुछ वास्तविक होने चाहिए।

कई जड़ों की उपस्थिति में इसके लिए कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है; लेकिन एक जटिल जड़ और उसके संयुग्म में समान बहुलता (गणित) होती है (और यह लेम्मा (गणित) सिद्ध करना कठिन नहीं है)। इसे केवल अलघुकरणीय बहुपदों पर विचार करके भी हल किया जा सकता है; विषम डिग्री के किसी भी वास्तविक बहुपद में विषम डिग्री का एक अलघुकरणीय गुणक होना चाहिए, जिसकी (कोई बहुमूल नहीं है) उपरोक्त तर्क द्वारा एक वास्तविक जड़ होनी चाहिए।

इस उपप्रमेय को मध्यवर्ती मान प्रमेय का प्रयोग करके भी प्रत्यक्ष रूप से सिद्ध किया जा सकता है।

प्रमाण

प्रमेय का एक प्रमाण इस प्रकार है:

बहुपद पर विचार करें

$P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}$

जहां सभी ए_r असली हैं। मान लीजिए कि कुछ सम्मिश्र संख्या ζ P का एक मूल है, अर्थात $P(\zeta )=0$. इसे दिखाने की जरूरत है

$P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=0$

भी।

अगर P(ζ  ) = 0, तो

$a_{0}+a_{1}\zeta +a_{2}\zeta ^{2}+\cdots +a_{n}\zeta ^{n}=0$

जिसे इस रूप में रखा जा सकता है

$\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}=0.$

अब

$P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}$

और जटिल संयुग्मन # गुण दिए गए हैं,

$\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\overline {\zeta ^{r}}}=\sum _{r=0}^{n}{\overline {a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}.$

तब से

${\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {0}},$

यह इस प्रकार है कि

$\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}={\overline {0}}=0.$

वह है,

$P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=a_{0}+a_{1}{\overline {\zeta }}+a_{2}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{2}+\cdots +a_{n}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{n}=0.$

ध्यान दें कि यह केवल इसलिए काम करता है क्योंकि a_r वास्तविक हैं, अर्थात् ${\overline {a_{r}}}=a_{r}$. यदि कोई भी गुणांक अवास्तविक होता, तो मूल आवश्यक रूप से संयुग्मी युग्मों में नहीं आते।

टिप्पणियाँ

[Category:Articles containing proo