बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह

गणित में, एक समूह (गणित) का बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह, G, भागफल समूह है, Aut(G) / Inn(G), कहाँ Aut(G) का ऑटोमोर्फिज्म समूह है G और Inn(G) उपसमूह है जिसमें आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म शामिल हैं। बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह को आमतौर पर निरूपित किया जाता है Out(G). अगर Out(G) तुच्छ है और G का एक तुच्छ केंद्र (समूह सिद्धांत) है, फिर G को पूर्ण समूह कहा जाता है।

एक समूह का एक ऑटोमोर्फिज्म जो आंतरिक नहीं है उसे बाहरी ऑटोमोर्फिज्म कहा जाता है। का सह समुच्चय Inn(G) बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के संबंध में तब के तत्व हैं Out(G); यह इस तथ्य का एक उदाहरण है कि समूहों के उद्धरण सामान्य रूप से उपसमूहों (समरूपी) नहीं होते हैं। यदि आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म समूह तुच्छ है (जब कोई समूह एबेलियन है), ऑटोमोर्फिज्म समूह और बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह स्वाभाविक रूप से पहचाने जाते हैं; अर्थात्, बाह्य स्वाकारिता समूह समूह पर कार्य करता है।

उदाहरण के लिए, वैकल्पिक समूह के लिए, A_n, बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह आमतौर पर क्रम 2 का समूह होता है, अपवादों के साथ नीचे उल्लेख किया गया है। मानते हुए A_n सममित समूह के एक उपसमूह के रूप में, S_n, किसी भी विषम क्रमचय द्वारा संयुग्मन का एक बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म है A_n या अधिक सटीक रूप से (गैर-तुच्छ) बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है A_n , लेकिन बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म किसी विशेष विषम तत्व द्वारा संयुग्मन के अनुरूप नहीं है, और विषम तत्वों द्वारा सभी संयुग्मन एक समान तत्व द्वारा संयुग्मन के बराबर हैं।

संरचना

श्रेयर अनुमान का दावा है कि Out(G) हमेशा एक हल करने योग्य समूह होता है जब G एक परिमित सरल समूह है। यह परिणाम अब परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण के परिणाम के रूप में सत्य माना जाता है, हालांकि कोई सरल प्रमाण ज्ञात नहीं है।

केंद्र के दोहरे के रूप में

बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह निम्नलिखित अर्थों में केंद्र के लिए द्वैत (गणित) है: के एक तत्व द्वारा संयुग्मन G एक ऑटोमोर्फिज्म है, जो एक मानचित्र प्रदान करता है σ : G → Aut(G). संयुग्मन मानचित्र का कर्नेल (बीजगणित) केंद्र है, जबकि cokernel बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह है (और छवि आंतरिक ऑटोमोर्फिज़्म समूह है)। इसे सटीक अनुक्रम द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है:

Z(G) ↪ G σ→ Aut(G) ↠ Out(G).

अनुप्रयोग

एक समूह का बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह संयुग्मन वर्गों पर और तदनुसार वर्ण तालिका पर कार्य करता है। चरित्र तालिका #आउटर ऑटोमॉर्फिज्म|कैरेक्टर टेबल: आउटर ऑटोमोर्फिज्म पर विवरण देखें।

सतहों की टोपोलॉजी

सतह (टोपोलॉजी) के टोपोलॉजी में बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह महत्वपूर्ण है क्योंकि देह-नीलसन प्रमेय द्वारा प्रदान किया गया एक कनेक्शन है: सतह का विस्तारित मानचित्रण वर्ग समूह अपने मौलिक समूह का बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह है।

परिमित समूहों में

सभी परिमित सरल समूहों के बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूहों के लिए परिमित सरल समूहों की सूची देखें। छिटपुट सरल समूह और वैकल्पिक समूह (वैकल्पिक समूह के अलावा, A₆; नीचे देखें) सभी में क्रम 1 या 2 के बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह हैं। ली प्रकार के परिमित सरल समूह का बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह विकर्ण ऑटोमोर्फिज्म के समूह का विस्तार है (चक्रीय को छोड़कर D_n(q), जब इसका क्रम 4 होता है), फ़ील्ड ऑटोमोर्फिज़्म का एक समूह (हमेशा चक्रीय), और ग्राफ़ ऑटोमोर्फिज़्म का एक समूह (ऑर्डर 1 या 2 को छोड़कर) D₄(q), जब यह 3 बिंदुओं पर सममित समूह है)। वैकल्पिक समूह के मामले में ये एक्सटेंशन हमेशा अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद नहीं होते हैं A₆ दिखाता है; ऐसा होने के लिए एक सटीक मानदंड 2003 में दिया गया था।

Group	Parameter	Out(G)	|Out(G)|
Z		C2	2: the identity and the outer automorphism x ↦ −x
Cn	n > 2	(ℤ/nℤ)×	φ(n) = $n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$; one corresponding to multiplication by an invertible element in the ring ℤ/nℤ.
Zpn	p prime, n > 1	GLn(p)	(pn − 1)(pn − p )(pn − p2)...(pn − pn−1)
Sn	n ≠ 6	C1	1
S6		C2 (see below)	2
An	n ≠ 6	C2	2
A6		C2 × C2 (see below)	4
PSL2(p)	p > 3 prime	C2	2
PSL2(2n)	n > 1	Cn	n
PSL3(4) = M21		Dih6	12
Mn	n ∈ {11, 23, 24}	C1	1
Mn	n ∈ {12, 22}	C2	2
Con	n ∈ {1, 2, 3}	C1	1

सममित और वैकल्पिक समूहों में

Further information: Automorphisms of the symmetric and alternating groups

परिमित सरल समूहों के कुछ अनंत परिवार में एक परिमित सरल समूह का बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह लगभग हमेशा एक समान सूत्र द्वारा दिया जा सकता है जो परिवार के सभी तत्वों के लिए काम करता है। इसका केवल एक अपवाद है: वैकल्पिक समूह A₆ में 2 के बजाय ऑर्डर 4 का बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह है, जैसा कि अन्य सरल वैकल्पिक समूह (एक विषम क्रमपरिवर्तन द्वारा संयुग्मन द्वारा दिया गया) करते हैं। समतुल्य सममित समूह S₆ गैर-तुच्छ बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह वाला एकमात्र सममित समूह है।

${\begin{aligned}n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})&=\mathrm {C} _{1}\\n\geq 3,\ n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})&=\mathrm {C} _{2}\\\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\\\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\end{aligned}}$

ध्यान दें कि के मामले में G = A₆ = PSL(2, 9), क्रम 1 ⟶ G ⟶ Aut(G) ⟶ Out(G) ⟶ 1 विभाजित नहीं होता है। इसी तरह का परिणाम किसी के लिए भी होता है PSL(2, q²), q अजीब।

रिडक्टिव बीजगणितीय समूहों में

डायनकिन आरेख की समरूपता, D₄, के बाहरी automorphisms के अनुरूप है Spin(8) परीक्षण में।

होने देना G अब बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड पर एक कनेक्टेड रिडक्टिव समूह बनें। फिर कोई भी दो बोरेल उपसमूह एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म द्वारा संयुग्मित होते हैं, इसलिए बाहरी ऑटोमोर्फिज्म का अध्ययन करने के लिए ऑटोमोर्फिज्म पर विचार करना पर्याप्त होता है जो किसी दिए गए बोरेल उपसमूह को ठीक करता है। बोरेल उपसमूह से जुड़ा रूट सिस्टम # पॉजिटिव रूट्स और सिंपल रूट्स का एक सेट है, और संबंधित रूट सिस्टम की संरचना को संरक्षित करते हुए बाहरी ऑटोमोर्फिज्म उन्हें अनुमति दे सकता है # डायनकिन डायग्राम द्वारा रूट सिस्टम का वर्गीकरण। इस तरह से डायनकिन आरेख के ऑटोमोर्फिज़्म समूह की पहचान की जा सकती है G उपसमूह के साथ Out(G).

D₄ में एक बहुत ही सममित डायनकिन आरेख है, जो एक बड़े बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह का उत्पादन करता है Spin(8), अर्थात् Out(Spin(8)) = S₃; इसे परीक्षण कहा जाता है।

जटिल और वास्तविक सरल झूठ बीजगणित में

डायनकिन आरेख की समरूपता के रूप में बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म की पूर्ववर्ती व्याख्या सामान्य तथ्य से होती है, कि एक जटिल या वास्तविक सरल झूठ बीजगणित के लिए, 𝔤, ऑटोमोर्फिज़्म समूह Aut(𝔤) का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है Inn(𝔤) और Out(𝔤); यानी, सटीक क्रम

1 ⟶ Inn(𝔤) ⟶ Aut(𝔤) ⟶ Out(𝔤) ⟶ 1

विभाजन। जटिल सरल मामले में, यह शास्त्रीय परिणाम है, जबकि वास्तविक सरल झूठ बीजगणित के लिए, यह तथ्य हाल ही में 2010 तक सिद्ध हो चुका है।

शब्द खेल

बाहरी ऑटोमोर्फिज्म शब्द स्वयं को शब्दों के खेल के लिए उधार देता है: बाहरी ऑटोमोर्फिज्म शब्द का प्रयोग कभी-कभी बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के लिए किया जाता है, और एक विशेष ज्यामितीय समूह क्रिया जिस पर Out(F_n) कृत्यों को आउट (Fn)#आउटर स्पेस कहा जाता है।

यह भी देखें

• मानचित्रण वर्ग समूह
• आउट(फन)|आउट(ऑफ_n)

बाहरी संबंध

• ATLAS of Finite Group Representations-V3, contains a lot of information on various classes of finite groups (in particular sporadic simple groups), including the order of Out(G) for each group listed.