वर्ग माध्य मूल

गणित और उसके अनुप्रयोगों में, संख्याओं के समूह का मूल माध्य वर्ग

�$x_{i}$ (आरएमएस के रूप में संक्षिप्त,RMSया आरएमएस और सूत्रों में या तो के रूप में दर्शाया गया है $x_{\mathrm {RMS} }$ या $\mathrm {RMS} _{x}$) समूह के माध्य वर्ग (बीजगणित) के अंकगणितीय माध्य) के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है। आरएमएस को द्विघात माध्य (निरूपित) के रूप में भी जाना जाता है $M_{2}$) और सामान्यीकृत माध्य द्विघात का एक विशेष स्थिति है। लगातार बदलते समारोह (गणित) का आरएमएस (निरूपित $f_{\mathrm {RMS} }$) एक चक्र के दौरान तात्क्षणिक मानों के वर्गों के समाकलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

प्रत्यावर्ती धारा के लिए, आरएमएस निरंतर प्रत्यक्ष धारा के मान के बराबर होता है जो एक प्रतिरोधक में समान शक्ति अपव्यय उत्पन्न करेगा।आकलन सिद्धांत में, अनुमानक का मूल-माध्य-वर्ग विचलन डेटा के अनुमानक के फिट होने की अपूर्णता का एक उपाय है।

परिभाषा

मूल्यों के एक समूह (या एक निरंतर-समय तरंग) का आरएमएस मूल्य मूल्यों के वर्गों के अंकगणितीय माध्य का वर्गमूल है, या समारोह का वर्ग है जो निरंतर तरंग को परिभाषित करता है। भौतिकी में, आरएमएस वर्तमान मान को प्रत्यक्ष धारा के मान के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जो एक प्रतिरोधक में समान शक्ति को नष्ट कर देता है।

एन मूल्यों के एक समूह के स्थिति में $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$, आरएमएस है

$x_{\text{RMS}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}}.$

अंतराल पर परिभाषित एक निरंतर कार्य (या तरंग) f(t) के लिए संबंधित सूत्र $T_{1}\leq t\leq T_{2}$ है

$f_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}},$

और हर समय एक समारोह के लिए आरएमएस है

$f_{\text{RMS}}=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}}.$

आवधिक समारोह के सभी समय में आरएमएस समारोह की एक अवधि के आरएमएस के बराबर होता है। एक निरंतर समारोह या सिग्नल का आरएमएस मान समान दूरी वाले अवलोकनों वाले नमूने के आरएमएस को लेकर अनुमानित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, कार्टराईट द्वारा दिखाए गए अनुसार, विभिन्न तरंगों के आरएमएस मूल्य को कैलकुलस#इंटीग्रल कैलकुलस के बिना भी निर्धारित किया जा सकता है। एक यादृच्छिक प्रक्रिया के आरएमएस आंकड़े के स्थिति में, माध्य के बजाय अपेक्षित मान का उपयोग किया जाता है।

सामान्य तरंगों में

File:Waveforms.svg

साइन लहर, स्क्वेर वेव, त्रिकोण लहर और सॉटूथ वेव वेवफॉर्म। प्रत्येक में, केंद्र रेखा 0 पर है, धनात्मक शिखर पर है $y=A_{1}$ और नकारात्मक शिखर पर है $y=-A_{1}$

File:Dutycycle.svg

कर्तव्य चक्र डी की एक आयताकार नाड़ी तरंग, नाड़ी अवधि के बीच का अनुपात ($\tau$) और अवधि (टी); यहाँ एक = 1 के साथ सचित्र।

File:Sine wave voltages.svg

साइन वेव के वोल्टेज बनाम समय (डिग्री में) का ग्राफ, आरएमएस, पीक (पीके) और पीक-टू-पीक (पीपी) वोल्टेज दिखा रहा है।

यदि तरंग एक शुद्ध साइन लहर है, तो आयाम (पीक-टू-पीक, पीक) और आरएमएस के बीच संबंध निश्चित और ज्ञात हैं, क्योंकि वे किसी भी निरंतर अवधि (भौतिकी) लहर के लिए हैं। हालांकि, यह एक मनमाना तरंग के लिए सही नहीं है, जो आवधिक या निरंतर नहीं हो सकता है। ज़ीरो-मीन साइन वेव के लिए, आरएमएस और पीक-टू-पीक एम्प्लिट्यूड के बीच संबंध है:

शिखर से शिखर तक $=2{\sqrt {2}}\times {\text{RMS}}\approx 2.8\times {\text{RMS}}.$

अन्य तरंगों के लिए, रिश्ते वैसे नहीं हैं जैसे वे साइन लहरों के लिए हैं। उदाहरण के लिए, त्रिकोणीय या चूरा तरंग के लिए

शिखर से शिखर तक $=2{\sqrt {3}}\times {\text{RMS}}\approx 3.5\times {\text{RMS}}.$

Waveform	Variables and operators	आरएमएस
DC	$y=A_{0}\,$	$A_{0}\,$
Sine wave	$y=A_{1}\sin(2\pi ft)\,$	${\frac {A_{1}}{\sqrt {2}}}$
Square wave	$y={\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.5\end{cases}}$	$A_{1}\,$
DC-shifted square wave	$y=$