वृद्धि समय

इलेक्ट्रानिक्स में, वोल्टेज या करंट (बिजली) समारोह की ओर कदम बढ़ाएं का वर्णन करते समय, वृद्धि का समय सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग) द्वारा निर्दिष्ट निम्न मान से निर्दिष्ट उच्च मान में बदलने के लिए लिया गया समय होता है। इन मूल्यों को अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है या, समकक्ष, प्रतिशत के रूप में किसी दिए गए संदर्भ मान के संबंध में। एनालॉग इलेक्ट्रॉनिक्स और डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में, ये प्रतिशत आमतौर पर 10% और 90% (या समतुल्य होते हैं 0.1 और 0.9) आउटपुट चरण ऊंचाई का: हालाँकि, अन्य मान आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं। के अनुसार नियंत्रण सिद्धांत में अनुप्रयोगों के लिए Levine (1996, p. 158), उठने के समय को उस समय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो प्रतिक्रिया के उठने के लिए आवश्यक है x% को {{math|y%}इसके अंतिम मूल्य का }, कम नम सेकंड ऑर्डर सिस्टम के लिए 0% से 100% वृद्धि समय सामान्य के साथ, गंभीर रूप से नम के लिए 5% से 95% और ओवरडैम्प वाले के लिए 10% से 90%। के अनुसार Orwiler (1969, p. 22), वृद्धि का समय या तो सकारात्मक या नकारात्मक चरण प्रतिक्रिया पर लागू होता है, भले ही एक प्रदर्शित नकारात्मक भ्रमण को लोकप्रिय रूप से गिरावट का समय कहा जाता है।

सिंहावलोकन

उदय समय इलेक्ट्रॉनिक्स में मौलिक महत्व का एक एनालॉग पैरामीटर है, क्योंकि यह तेजी से इनपुट संकेतों का जवाब देने के लिए सर्किट की क्षमता का एक उपाय है। सर्किट, जनरेटर और डेटा मापने और ट्रांसमिशन उपकरण के उदय समय को कम करने के लिए कई प्रयास किए गए हैं। ये कटौती तेजी से इलेक्ट्रॉनिक उपकरण पर शोध से और आवारा सर्किट मापदंडों (मुख्य रूप से कैपेसिटेंस और इंडक्शन) में कमी की तकनीकों से होती है। उच्च गति वाले इलेक्ट्रॉनिक्स के दायरे से बाहर के अनुप्रयोगों के लिए, लंबा (कला की प्राप्य स्थिति की तुलना में) उदय समय कभी-कभी वांछनीय होता है: उदाहरण एक प्रकाश का मंदक है, जहां एक लंबा उदय-समय परिणाम, अन्य चीजों के साथ, लंबे समय तक बल्ब के लिए जीवन, या एनालॉग स्विच के माध्यम से डिजिटल संकेतों के नियंत्रण में, जहां लंबे समय तक बढ़ने का मतलब कम कैपेसिटिव फीडथ्रू होता है, और इस प्रकार नियंत्रित एनालॉग सिग्नल लाइनों के लिए कम युग्मन शोर होता है।

उदय समय को प्रभावित करने वाले कारक

किसी दिए गए प्रणाली आउटपुट के लिए, इसका उदय समय इनपुट सिग्नल के उदय समय और सिस्टम की विशेषताओं दोनों पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, प्रतिरोधक सर्किट में वृद्धि समय मान मुख्य रूप से आवारा समाई और अधिष्ठापन के कारण होते हैं। चूंकि प्रत्येक विद्युत नेटवर्क में न केवल विद्युत प्रतिरोध होता है, बल्कि समाई और अधिष्ठापन भी होता है, स्थिर स्थिति (इलेक्ट्रॉनिक्स) तक पहुंचने तक लोड में वोल्टेज और/या वर्तमान में देरी स्पष्ट होती है। एक शुद्ध आरसी सर्किट में, आउटपुट रिसाइमटाइम (10% से 90%) लगभग बराबर होता है 2.2 RC.

वैकल्पिक परिभाषाएं

उदय समय की अन्य परिभाषाएँ, # द्वारा दी गई एक के अलावाCITEREFNational_Communication_Systems1997|संघीय मानक 1037सी (1997, पृ. आर-22) और इसके द्वारा दिया गया मामूली सामान्यीकरण Levine (1996, p. 158), कभी कभी इस्तेमाल किया जाता है: ये वैकल्पिक परिभाषाएं न केवल माने गए संदर्भ स्तरों के लिए मानक से भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, चरण फ़ंक्शन प्रतिक्रिया के 50% बिंदु के माध्यम से खींची गई स्पर्शरेखा के अवरोध बिंदुओं के अनुरूप ग्राफिक रूप से समय अंतराल का उपयोग कभी-कभी किया जाता है। एक और परिभाषा, द्वारा शुरू की गई Elmore (1948, p. 57), सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत से अवधारणाओं का उपयोग करता है। एक कदम प्रतिक्रिया को ध्यान में रखते हुए V(t), वह प्रसार विलंब#इलेक्ट्रॉनिक्स को फिर से परिभाषित करता है t_D इसके पहले व्युत्पन्न के पहले क्षण के रूप में V′(t), अर्थात।

$t_{D}={\frac {\int _{0}^{+\infty }tV^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}.$

अंत में, वह वृद्धि के समय को परिभाषित करता है t_r दूसरे क्षण का उपयोग करके

$t_{r}^{2}={\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}\quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}}$

मॉडल सिस्टम का उदय समय

अंकन

विश्लेषण के लिए आवश्यक सभी संकेतन और मान्यताएँ यहाँ सूचीबद्ध हैं।

• अगले Levine (1996, p. 158, 2011, 9-3 (313)), हम परिभाषित करते हैं x% प्रतिशत कम मूल्य के रूप में और y% प्रतिशत उच्च मूल्य संकेत के एक संदर्भ मूल्य के संबंध में जिसके उदय समय का अनुमान लगाया जाना है।
• t₁ वह समय है जिस पर विश्लेषण के तहत सिस्टम का आउटपुट होता है {{math|x%}स्थिर-अवस्था मूल्य का }, जबकि t₂ जिस पर यह है y%, दोनों को दूसरा में मापा जाता है।
• t_r विश्लेषित प्रणाली का उदय समय है, जिसे सेकंड में मापा जाता है। परिभाषा से,
  $$t_{r}=t_{2}-t_{1}.$$
• f_L विश्लेषित प्रणाली की निचली कटऑफ़ आवृत्ति (-3 dB बिंदु) है, जिसे हेटर्स ़ में मापा जाता है।
• f_H विश्लेषण प्रणाली की उच्च कटऑफ आवृत्ति (-3 dB बिंदु) है, जिसे हर्ट्ज़ में मापा जाता है।
• h(t) टाइम डोमेन में विश्लेषित प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया है।
• H(ω) आवृत्ति डोमेन में विश्लेषित प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया है।
• बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) को इस रूप में परिभाषित किया गया है
  $$BW=f_{H}-f_{L}$$
  और कम कटऑफ आवृत्ति के बाद से f_L आमतौर पर उच्च कटऑफ आवृत्ति से कई दशक कम होता है f_H,
  $$BW\cong f_{H}$$
• यहाँ विश्लेषित सभी प्रणालियों में एक आवृत्ति प्रतिक्रिया होती है जो विस्तृत होती है 0 (लो-पास सिस्टम), इस प्रकार
  $$f_{L}=0\,\Longleftrightarrow \,f_{H}=BW$$
  बिल्कुल।
• सरलता के लिए, सभी प्रणालियों का उदय समय में विश्लेषण किया गया है#वृद्धि समय खंड की गणना के सरल उदाहरण हैं लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स)#वोल्टेज लाभ विद्युत नेटवर्क, और सभी संकेतों को वोल्टेज के रूप में माना जाता है: इनपुट का एक चरण कार्य है V₀ वाल्ट , और इसका तात्पर्य है कि
  $${\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}={\frac {x\%}{100}}\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}={\frac {y\%}{100}}$$
• ζ भिगोना अनुपात है और ω₀ दिए गए दूसरे क्रम के अंतर समीकरण की प्राकृतिक आवृत्ति है।

वृद्धि समय की गणना के सरल उदाहरण

इस खंड का उद्देश्य कुछ सरल प्रणालियों के लिए चरण प्रतिक्रिया के उदय समय की गणना करना है:

गाऊसी प्रतिक्रिया प्रणाली

एक प्रणाली को गॉसियन प्रतिक्रिया कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित आवृत्ति प्रतिक्रिया की विशेषता है

$|H(\omega )|=e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

कहाँ σ > 0 स्थिर है, निम्न संबंध द्वारा उच्च कटऑफ आवृत्ति से संबंधित:

$f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .$

भले ही इस तरह की आवृत्ति प्रतिक्रिया एक कारण फिल्टर द्वारा साकार नहीं होती है, इसकी उपयोगिता इस तथ्य में निहित है कि लो-पास फिल्टर # फर्स्ट ऑर्डर के कैस्केड कनेक्शन का व्यवहार इस प्रणाली के व्यवहार को अधिक निकटता से देखता है क्योंकि कैस्केड चरणों की संख्या स्पर्शोन्मुख विश्लेषण गणनीय सेट तक बढ़ जाती है। दिखाए गए आवृत्ति प्रतिक्रिया के व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण का उपयोग करके संबंधित आवेग प्रतिक्रिया की गणना की जा सकती है

${\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}e^{i\omega t}}d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}$

कदम प्रतिक्रिया की परिभाषा को सीधे लागू करना,

$V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\frac {\sigma t}{2}}e^{-\tau ^{2}}d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].$

सिस्टम के 10% से 90% वृद्धि समय का निर्धारण करने के लिए निम्नलिखित दो समीकरणों को समय के लिए हल करना आवश्यक है:

${\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],$

त्रुटि फ़ंक्शन के ज्ञात गुणों का उपयोग करके, मान t = −t₁ = t₂ पाया जाता है: चूंकि t_r = t₂ - t₁ = 2t,

$t_{r}={\frac {4}{\sigma }}{\operatorname {erf} ^{-1}(0.8)}\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},$

और अंत में

$t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.$

एक चरण का लो-पास आरसी नेटवर्क

साधारण एक-चरण निम्न-पास RC परिपथ के लिए, 10% से 90% वृद्धि का समय नेटवर्क समय स्थिरांक के समानुपाती होता है τ = RC:

$t_{r}\cong 2.197\tau$

आनुपातिकता स्थिरांक नेटवर्क के चरण प्रतिक्रिया के ज्ञान से इकाई चरण फ़ंक्शन इनपुट सिग्नल के ज्ञान से प्राप्त किया जा सकता है V₀ आयाम:

$V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)$

समय के लिए हल करना

${\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},$

और अंत में,

$\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)$

तब से t₁ और t₂ ऐसे हैं

${\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,$

इन समीकरणों को हल करने के लिए हम विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति पाते हैं t₁ और t₂:

$t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})$

$t_{2}=\tau \ln {10}$

इसलिए वृद्धि का समय स्थिर समय के समानुपाती होता है:

$t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197$

अब, यह देखते हुए

$\tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},$

तब

$t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},$

और चूंकि उच्च आवृत्ति कटऑफ़ बैंडविड्थ के बराबर है,

$t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.$

अंत में ध्यान दें कि, यदि इसके बजाय 20% से 80% वृद्धि समय पर विचार किया जाता है, t_r बन जाता है:

$t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}$

एक चरण का लो-पास एलआर नेटवर्क

यहां तक ​​कि साधारण वन-स्टेज लो-पास आरएल नेटवर्क के लिए भी 10% से 90% वृद्धि समय नेटवर्क समय स्थिरांक के समानुपाती होता है। τ = L⁄R. इस अभिकथन का औपचारिक प्रमाण ठीक उसी तरह आगे बढ़ता है जैसा कि पिछले खंड में दिखाया गया है: उदय समय के लिए अंतिम भावों के बीच एकमात्र अंतर समय स्थिरांक के भावों में अंतर के कारण होता है {{math|τ}दो अलग-अलग सर्किटों में से }, वर्तमान मामले में निम्नलिखित परिणाम के लिए अग्रणी है

$t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197$

अवमंदित द्वितीय क्रम प्रणाली का उदय समय

के अनुसार Levine (1996, p. 158), नियंत्रण सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले अंडरडैम्प सिस्टम के लिए वृद्धि समय को आमतौर पर एक तरंग के अंतिम मूल्य के 0% से 100% तक जाने के समय के रूप में परिभाषित किया जाता है:तदनुसार, एक अंडरडैम्प्ड द्वितीय-क्रम प्रणाली के 0 से 100% तक वृद्धि का समय निम्न रूप में है:

$t_{r}\cdot \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{\zeta }}\right)\right]$

द्वितीय-क्रम प्रणाली के लिए सामान्यीकृत वृद्धि समय के लिए द्विघात फ़ंक्शन सन्निकटन, चरण प्रतिक्रिया, कोई शून्य नहीं है:

$t_{r}\cdot \omega _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12$

कहाँ ζ भिगोना अनुपात है और ω₀ नेटवर्क की प्राकृतिक आवृत्ति है।

कैस्केड ब्लॉक का उदय समय

द्वारा रचित एक प्रणाली पर विचार करें n गैर-बातचीत करने वाले ब्लॉकों को कैस्केड किया गया है, प्रत्येक में वृद्धि का समय है t_ri, i = 1,…,n, और उनकी चरण प्रतिक्रिया में कोई ओवरशूट (संकेत) नहीं: मान लीजिए कि पहले ब्लॉक के इनपुट सिग्नल में वृद्धि का समय है जिसका मान है t_rS. बाद में, इसके आउटपुट सिग्नल में वृद्धि का समय होता है t_r0 के बराबर

$t_{r_{O}}={\sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}}^{2}+\dots +t_{r_{n}}^{2}}}$

के अनुसार Valley & Wallman (1948, pp. 77–78), यह परिणाम केंद्रीय सीमा प्रमेय का परिणाम है और इसके द्वारा सिद्ध किया गया था Wallman (1950): हालाँकि, समस्या का एक विस्तृत विश्लेषण द्वारा प्रस्तुत किया गया है Petitt & McWhorter (1961, §4–9, pp. 107–115), जिसका श्रेय भी Elmore (1948) कुछ हद तक कठोर आधार पर पिछले सूत्र को सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति के रूप में।

यह भी देखें

• पतझड़ का समय
• आवृत्ति प्रतिक्रिया
• आवेग प्रतिक्रिया
• कदम की प्रतिक्रिया
• निपटान समय

संदर्भ

• Cherry, E. M.; Hooper, D. E. (1968), Amplifying Devices and Low-pass Amplifier Design, New York–London–Sidney: John Wiley & Sons, pp. xxxii+1036.
• Elmore, William C. (January 1948), "The Transient Response of Damped Linear Networks with Particular Regard to Wideband Amplifiers", Journal of Applied Physics, 19 (1): 55–63, Bibcode:1948JAP....19...55E, doi:10.1063/1.1697872.
• Levine, William S. (1996), The Control Handbook, Boca Raton, FL: CRC Press, pp. xvi+1548, ISBN 0-8493-8570-9.
• Levine, William S. (2011) [1996], The Control Handbook: Control Systems Fundamentals (2nd ed.), Boca Raton, FL: CRC Press, pp. xx+766, ISBN 978-1-4200-7362-1.
• Millman, Jacob; Taub, Herbert (1965), Pulse, digital and switching waveforms, New York–St. Louis–San Francisco–Toronto–London–Sydney: McGraw-Hill, pp. xiv+958.
• National Communication Systems, Technology and Standards Division (1 March 1997), Federal Standard 1037C. Telecommunications: Glossary of Telecommunications Terms, FSC TELE, vol. FED–STD–1037, Washington: General Service Administration Information Technology Service, p. 488.
• Nise, Norman S. (2011), Control Systems Engineering (6th ed.), New York: John Wiley & Sons, pp. xviii+928, ISBN 978-0470-91769-5.
• Ogata, Katsuhiko (2010) [1970], Modern Control Engineering (5th ed.), Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, pp. x+894, ISBN 978-0-13-615673-4.
• Orwiler, Bob (December 1969), Vertical Amplifier Circuits (PDF), Circuit Concepts, vol. 062-1145-00 (1st ed.), Beaverton, OR: Tektronix, p. 461.
• Petitt, Joseph Mayo; McWhorter, Malcolm Myers (1961), Electronic Amplifier Circuits. Theory and Design, McGraw-Hill Electrical and Electronics Series, New York–Toronto–London: McGraw-Hill, pp. xiii+325.
• Valley, George E., Jr.; Wallman, Henry (1948), "§2 of chapter 2 and §1–7 of chapter 7", Vacuum Tube Amplifiers, MIT Radiation Laboratory Series, vol. 18, New York: McGraw-Hill., pp. xvii+743{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link).
• Wallman, Henry (1950), "Transient response and the central limit theorem of probability", in Taub, A. H. (ed.), Electromagnetic Theory (Massachusetts Institute of Technology, July 29–31 1948), Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, vol. 2, Providence: American Mathematical Society., p. 91, MR 0034250, Zbl 0035.08102.