तिरछी रेखाएँ

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आयताकार समांतर चतुर्भुज। खंड AD के माध्यम से रेखा और खंड B के माध्यम से रेखा₁B तिरछी रेखाएँ हैं क्योंकि वे एक ही तल में नहीं हैं।

[[त्रि-आयामी ज्यामिति]] में, तिरछी रेखाएँ दो रेखाएँ (ज्यामिति) होती हैं जो रेखा-रेखा प्रतिच्छेदन नहीं करती हैं और समानांतर (ज्यामिति) नहीं होती हैं। तिरछी रेखाओं की एक जोड़ी का एक सरल उदाहरण एक नियमित टेट्राहेड्रॉन के विपरीत किनारों से होकर जाने वाली रेखाओं की जोड़ी है। दो रेखाएँ जो एक ही तल में स्थित हैं, या तो एक दूसरे को काटती होंगी या समानांतर होंगी, इसलिए तिरछी रेखाएँ केवल तीन या अधिक आयामों में मौजूद हो सकती हैं। दो रेखाएँ टेढ़ी हैं यदि और केवल यदि वे समतलीय नहीं हैं।

सामान्य स्थिति

यदि एक इकाई घन के भीतर यादृच्छिक समान वितरण (निरंतर) पर चार बिंदु चुने जाते हैं, तो वे लगभग निश्चित रूप से तिरछी रेखाओं की एक जोड़ी को परिभाषित करेंगे। पहले तीन बिंदुओं को चुने जाने के बाद, चौथा बिंदु एक गैर-तिरछी रेखा को परिभाषित करेगा यदि, और केवल अगर, यह पहले तीन बिंदुओं के साथ समतलीय है। हालाँकि, पहले तीन बिंदुओं के माध्यम से विमान घन के माप शून्य का एक सबसेट बनाता है, और इस विमान पर चौथा बिंदु होने की संभावना शून्य है। यदि ऐसा नहीं होता है, तो बिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखाएं टेढ़ी हो जाएंगी।

इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किन्हीं भी दो समानांतर या प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक बहुत छोटा क्षोभ लगभग निश्चित रूप से उन्हें तिरछी रेखाओं में बदल देगा। इसलिए, सामान्य स्थिति में कोई भी चार बिंदु हमेशा तिरछी रेखाएँ बनाते हैं।

इस अर्थ में, तिरछी रेखाएँ सामान्य स्थिति हैं, और समानांतर या प्रतिच्छेदी रेखाएँ विशेष स्थितियाँ हैं।

सूत्र

Further information: Line–line intersection § Formulas

तिरछापन के लिए परीक्षण

यदि तिरछी रेखाओं की एक जोड़ी में प्रत्येक रेखा को दो बिंदुओं (ज्यामिति) द्वारा परिभाषित किया जाता है जिससे वह गुजरती है, तो ये चार बिंदु समतलीय नहीं होने चाहिए, इसलिए वे गैर-शून्य आयतन के चतुर्पाश्वीय के शीर्ष (ज्यामिति) होने चाहिए। इसके विपरीत, शून्येतर आयतन के चतुष्फलक को परिभाषित करने वाले बिंदुओं के कोई भी दो युग्म तिरछी रेखाओं के एक युग्म को भी परिभाषित करते हैं। इसलिए, यह परीक्षण कि क्या दो जोड़े बिंदु तिरछी रेखाओं को परिभाषित करते हैं, एक चतुष्फलक के आयतन के सूत्र को उसके चार शीर्षों के संदर्भ में लागू करना है। 1×3 वेक्टर के रूप में एक बिंदु को नकारना a जिसके तीन तत्व बिंदु के तीन समन्वय मान हैं, और इसी तरह निरूपित करते हैं b, c, और d अन्य बिंदुओं के लिए, हम जांच कर सकते हैं कि रेखा के माध्यम से है या नहीं a और b रेखा के माध्यम से तिरछा है c और d यह देखकर कि क्या टेट्राहेड्रॉन आयतन सूत्र गैर-शून्य परिणाम देता है:

$V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{matrix}\mathbf {a} -\mathbf {b} \\\mathbf {b} -\mathbf {c} \\\mathbf {c} -\mathbf {d} \end{matrix}}\right]\right|.$

निकटतम बिंदु

See also: Line–line intersection § Nearest points to skew lines

See also: Triangulation (computer vision) § Mid-point method

वैक्टर के रूप में दो पंक्तियों को व्यक्त करना:

${\text{Line 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}}$

${\text{Line 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}}$

का क्रॉस उत्पाद $\mathbf {d_{1}}$ और $\mathbf {d_{2}}$ रेखाओं के लंबवत है।

$\mathbf {n} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {d_{2}}$

लाइन 2 के साथ अनुवाद द्वारा गठित विमान $\mathbf {n}$ बिंदु शामिल है $\mathbf {p_{2}}$ और लंबवत है $\mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n}$.

इसलिए, उपर्युक्त समतल के साथ रेखा 1 का प्रतिच्छेदन बिंदु, जो रेखा 1 पर भी बिंदु है जो रेखा 2 के निकटतम है, द्वारा दिया गया है

$\mathbf {c_{1}} =\mathbf {p_{1}} +{\frac {(\mathbf {p_{2}} -\mathbf {p_{1}} )\cdot \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}}$

इसी प्रकार, रेखा 2 पर रेखा 1 के निकटतम बिंदु द्वारा दिया गया है (जहाँ $\mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n}$ )

$\mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}}$

दूरी

निकटतम अंक $\mathbf {c_{1}}$