ऑपेराड

गणित में, ओपेरा एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) ऑपरेशन (गणित) होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा O दिया गया है $O$इस सेट पर कंक्रीट ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप ऑपरेशन की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ओपेरा L जैसे L के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में L संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है। ओपेरा अपने बीजगणित के लिए समूह (गणित) के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।

इतिहास

ऑपरेशंस बीजगणितीय टोपोलॉजी में उत्पन्न होते हैं ओपेअर्डस; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत लिया गया था। ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)। 90 के दशक की प्रारम्भ में ओपेअर्डस में रुचि काफी सीमा तक नवीनीकृत हो गई थी, जब मैक्सिम कोंटेसेविच, विक्टर गिन्ज़बर्ग और मिखाइल कापरानोव की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद (गणित) घटनाओं को ओपेअर्डस के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है। इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे जहर कई गुना के विरूपण परिमाणीकरण में, डेलिग्ने अनुमान, या मैक्सिम कोंटसेविच और थॉमस विलवाकर के कार्य में ग्राफ (असतत गणित) होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।

अंतर्ज्ञान

कल्पना करना $X$ एक सेट है और के लिए $n\in \mathbb {N}$ हम परिभाषित करते हैं

$P(n):=\{f:X^{n}\to X\}$,

के कार्टेशियन उत्पाद से सभी कार्यों का सेट $n$ की प्रतियां $X$ को $X$.

हम इन कार्यों की रचना कर सकते हैं: दिया गया $f\in P(n)$, $f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})$, कार्यक्रम

$f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})$

निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया $k_{1}+\cdots +k_{n}$ से तर्क $X$, हम उन्हें विभाजित करते हैं $n$ ब्लॉक, पहले वाला $k_{1}$ तर्क, दूसरा $k_{2}$ तर्क, आदि, और फिर लागू करें $f_{1}$ पहले ब्लॉक के लिए, $f_{2}$ दूसरे ब्लॉक आदि के लिए। फिर हम आवेदन करते हैं $f$ की सूची में $n$ से प्राप्त मान $X$ ऐसे कि।

हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, यानी हमारे पास समूह क्रिया है $*$ सममित समूह का $S_{n}$ पर $P(n)$, द्वारा परिभाषित

$(f*s)(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{s^{-1}(1)},\ldots ,x_{s^{-1}(n)})$

के लिए $f\in P(n)$, $s\in S_{n}$ और $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$.

नीचे दी गई एक सममित ऑपरैड की परिभाषा इन दो परिचालनों के आवश्यक गुणों को पकड़ती है $\circ$ और $*$.

परिभाषा

गैर-सममित संक्रिया

एक गैर-सममित ऑपरैड (कभी-कभी क्रमपरिवर्तन के बिना ऑपरैड कहा जाता है, या एक गैर-$\Sigma$या सादा ऑपरैड) में निम्नलिखित शामिल हैं:

• एक क्रम $(P(n))_{n\in \mathbb {N} }$ सेट के, जिनके तत्व कहलाते हैं$n$-एरी संचालन,
• तत्व $1$ में $P(1)$ पहचान कहते हैं,
• सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $n$, ${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$, एक रचना समारोह

$\begin{array}{r}\circ <!--\; \circ \; -->:P(n)\times <!--\; \times \; -->P(k_1)\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->P(\end{array}$