ऑपेराड

गणित में, एक ओपेरा एक संरचना है जिसमें अमूर्त ऑपरेशन (गणित) होते हैं, प्रत्येक में एक निश्चित परिमित संख्या में इनपुट (तर्क) और एक आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के तरीके का एक विनिर्देश होता है। एक ओपेरा दिया $O$, एक बीजगणित को परिभाषित करता है $O$इस सेट पर कंक्रीट ऑपरेशंस के साथ एक सेट होना जो कि एब्स्ट्रैक्ट ऑपरेशंस की तरह ही व्यवहार करता है $O$. उदाहरण के लिए, एक लाई ओपेरा है $L$ ऐसा कि बीजगणित खत्म हो गया $L$ बिल्कुल झूठ बीजगणित हैं; एक अर्थ में $L$ संक्षेप में उन परिचालनों को एन्कोड करता है जो सभी झूठ बीजगणितों के लिए आम हैं। एक ओपेरा अपने बीजगणित के लिए एक समूह (गणित) के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।

इतिहास

ऑपरेशंस बीजगणितीय टोपोलॉजी में उत्पन्न होते हैं; माइकल बोर्डमैन|जे. द्वारा पुनरावृत्त लूप स्पेस को चिह्नित करने के लिए उनका परिचय कराया गया था। 1969 में माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट और 1970 में जे. पीटर मे द्वारा। ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के एक बंदरगाह के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)। 90 के दशक की शुरुआत में ओपेरा में रुचि काफी हद तक नवीनीकृत हो गई थी, जब मैक्सिम कोंटेसेविच, विक्टर गिन्ज़बर्ग और मिखाइल कापरानोव की शुरुआती अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वैत (गणित) घटनाओं को ओपेरा के कोज़ुल द्वैत का उपयोग करके समझाया जा सकता है। इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे जहर कई गुना के विरूपण परिमाणीकरण में, डेलिग्ने अनुमान, या मैक्सिम कोंटसेविच और थॉमस विलवाकर के काम में ग्राफ (असतत गणित) होमोलॉजी (गणित)।

अंतर्ज्ञान

कल्पना करना $X$ एक सेट है और के लिए $n\in \mathbb {N}$ हम परिभाषित करते हैं

$P(n):=\{f:X^{n}\to X\}$,

के कार्टेशियन उत्पाद से सभी कार्यों का सेट $n$ की प्रतियां $X$ को $X$.

हम इन कार्यों की रचना कर सकते हैं: दिया गया $f\in P(n)$, $f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})$, कार्यक्रम

$f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})$

निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया $k_{1}+\cdots +k_{n}$ से तर्क $X$, हम उन्हें विभाजित करते हैं $n$ ब्लॉक, पहले वाला $k_{1}$ तर्क, दूसरा $k_{2}$ तर्क, आदि, और फिर लागू करें $f_{1}$ पहले ब्लॉक के लिए, $f_{2}$ दूसरे ब्लॉक आदि के लिए। फिर हम आवेदन करते हैं $f$ की सूची में $n$ से प्राप्त मान $X$ ऐसे कि।

हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, यानी हमारे पास समूह क्रिया है $*$ सममित समूह का $S_{n}$ पर $P(n)$, द्वारा परिभाषित

$(f*s)(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{s^{-1}(1)},\ldots ,x_{s^{-1}(n)})$

के लिए $f\in P(n)$, $s\in S_{n}$ और $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$.

नीचे दी गई एक सममित ऑपरैड की परिभाषा इन दो परिचालनों के आवश्यक गुणों को पकड़ती है $\circ$ और $*$.

परिभाषा

गैर-सममित संक्रिया

एक गैर-सममित ऑपरैड (कभी-कभी क्रमपरिवर्तन के बिना ऑपरैड कहा जाता है, या एक गैर-$\Sigma$या सादा ऑपरैड) में निम्नलिखित शामिल हैं:

• एक क्रम $(P(n))_{n\in \mathbb {N} }$ सेट के, जिनके तत्व कहलाते हैं$n$-एरी संचालन,
• तत्व $1$ में $P(1)$ पहचान कहते हैं,
• सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $n$, ${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$, एक रचना समारोह

$\begin{array}{r}\circ <!--\; \circ \; -->\end{array}$