चर परिवर्तन

गणित में, चरों का परिवर्तन एक मूलभूत तकनीक है जिसका उपयोग समस्याओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है जिसमें मूल चर को अन्य चर के कार्यों से बदल दिया जाता है। उद्देश्य यह है कि जब नए चरों में व्यक्त किया जाता है, तो समस्या सरल हो सकती है, या बेहतर समझी जाने वाली समस्या के बराबर हो सकती है।

चरों का परिवर्तन एक संक्रिया है जो प्रतिस्थापन से संबंधित है। हालाँकि ये अलग-अलग संक्रिया बहुकार्य हैं, जैसा कि भेदभाव (श्रृंखला नियम) या एकीकरण (प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण) पर विचार करते समय देखा जा सकता है।

उपयोगी चर परिवर्तन का एक बहुत ही सरल उदाहरण छठी डिग्री बहुपद की जड़ों को खोजने की समस्या में देखा जा सकता है,

$x^{6}-9x^{3}+8=0.$

रेडिकल के संदर्भ में छठी-डिग्री बहुपद समीकरणों को हल करना आम तौर पर असंभव है (एबेल-रफिनी प्रमेय देखें)। हालाँकि, यह विशेष समीकरण

$(x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0$

लिखा जा सकता है,

(यह बहुपद अपघटन का एक साधारण मामला है)। जो एक नए चर को परिभाषित करके समीकरण को सरल बनाया जा सकता है। $u=x^{3}$ द्वारा एक्स को प्रतिस्थापित करके ${\sqrt[{3}]{u}}$ बहुपद में बदल दिया जाता है।

$u^{2}-9u+8=0,$

दो निराकरणों के साथ एक द्विघात समीकरण होती है।

$u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.$

मूल चर के संदर्भ में एक्स को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। जो बैक इन फॉर यू देता है।

$x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.$

जबकि वास्तविक समस्या निराकरण पर बल देती है।

वास्तविक संख्या निराकरण में रुचि रखता है, जिसका मूल समीकरण है।

$x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.$

सरल उदाहरण

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें-

$xy+x+y=71$

$x^{2}y+xy^{2}=880$

जहां एक्स और वाई धनात्मक पूर्णांक हैं। एक्स>वाई

(स्रोत: 1991 अमेरिकी साधारणंत्रण गणित परीक्षा)

इसे सामान्य रूप से हल करना बहुत कठिन नहीं है, जबकि, हम दूसरे समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं।$xy(x+y)=880$ जो $s=x+y$ और $t=xy$ प्रणाली को कम कर देता है तथा $s+t=71,st=880$ इसका समाधान करता है।$(s,t)=(16,55)$ और $(s,t)=(55,16)$ पहले क्रमित युग्म का पिछला-प्रतिस्थापन हमें देता है। $x+y=16,xy=55,x>y$, हमें समाधान देता है $(x,y)=(11,5).$दूसरी ओर हमें पिछला-प्रतिस्थापन करना होता है $x+y=55,xy=16,x>y$, जिसका कोई निराकरण नहीं है। इसलिए प्रणाली को हल करने वाला निराकरण$(x,y)=(11,5)$ है।

औपचारिक परिचय

ए, बी का कई गुना है थीटा:ए>बी के बीच भिन्नता है।थीटा एक आर निरंतर अवकलनीय, विशेषण मानचित्र से ए को बी के साथ और लगातार अवकलनीय प्रतिलोम में ए या बी तथाआर भी प्राकृतिक संख्या (या शून्य) हो सकती है, सिग्मा या ओमेगा (विश्लेषणात्मक कार्य) है।

नक्शा थीटा एक नियमित समन्वय या नियमित चर प्रतिस्थापन कहा जाता है, जहां नियमित रूप से हल है कि $C^{r}$ को सामान्यतः थीटा लिखा जा सकता है। $x=\Phi (y)$ चर के प्रतिस्थापन को इंगित करने के लिए एक्स चर द्वारा वाई के मान को प्रतिस्थापित करके थीटा में वाई की हर घटना के लिए एक्स मान्य होता है।

अन्य उदाहरण

समन्वय परिवर्तन

ध्रुवीय निर्देशांक को बदलने पर कुछ प्रणालियों को अधिक आसानी से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए समीकरण पर विचार करें कि

$U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.$

यह किसी समस्या के संभावित ऊर्जा का फलन हो सकता है।तो वह प्रतिस्थापन का प्रयास कर सकता है।

जबकि यह वैज्ञानिकों $(x,y)=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}($