चर परिवर्तन

गणित में, चरों का परिवर्तन एक बुनियादी तकनीक है जिसका प्रयोग समस्याओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है जिसमें मूल चर (गणित) को अन्य चरों के फलन (गणित) से बदल दिया जाता है। आशय है कि जब नए चरों में बदल दिया जाता है, तो समस्या सरल हो सकती है, या बेहतर समझी जाने वाली समस्या के बराबर हो सकती है।

चरों का परिवर्तन एक संक्रिया है जो प्रतिस्थापन (बीजगणित) से संबंधित है। जबकि ये अलग-अलग कार्यवाही क्षेत्र हैं, जैसा कि भेदभाव (श्रृंखला नियम) या अलग-अलग प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण पर विचार करते समय देखा जा सकता है।

उपयोगी चर परिवर्तन का एक बहुत ही सरल उदाहरण है।जो छठी डिग्री बहुपद की जड़ों को खोजने की समस्या में बदल जाता है।

$x^{6}-9x^{3}+8=0.$

मूल परिवर्तनवादी में छठी-डिग्री के बहुपद समीकरणों को हल करना सामान्यतः असंभव है (एबेल-रफिनी प्रमेय देखें)। जबकि यह विशेष समीकरण है।

$(x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0$

यह बहुपद अपघटन की एक साधारण स्थित है। जो एक नए चर को परिभाषित करके समीकरण को सरल बनाया जा सकता है। $u=x^{3}$. द्वारा x को प्रतिस्थापित करके ${\sqrt[{3}]{u}}$ बहुपद में बदल जाता है।

$u^{2}-9u+8=0,$

दो निराकरण के साथ एक द्विघात समीकरण होती है।

$u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.$

मूल चर के संदर्भ में x को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। जो बैक इन फॉर यू देता है।

$x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.$

जबकि वास्तविक समस्या निराकरण पर बल देती है।

वास्तविक संख्या निराकरण में रुचि रखता है, यह मूल समीकरण है।

$x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.$

सरल उदाहरण

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

$xy+x+y=71$

$x^{2}y+xy^{2}=880$

जहां $x$ और $y$ धनात्मक पूर्णांक हैं।$x>y$. (स्रोत: 1991 अमेरिकी साधारणंत्रण गणित परीक्षा)

इसे सामान्य रूप से हल करना बहुत कठिन नहीं है, लेकिन यह थोड़ा कठिन हो सकता है। जबकि, हम दूसरे समीकरण को फिर से लिख सकते हैं।$xy(x+y)=880$. प्रतिस्थापन बनाना $s=x+y$ और $t=xy$ प्रणाली को कम कर देता है तथा $s+t=71,st=880$. इसका समाधान देता है, $(s,t)=(16,55)$ और $(s,t)=(55,16)$. पहले क्रमित युग्म का पिछला-प्रतिस्थापन हमें देता है। $x+y=16,xy=55,x>y$, जो समाधान देता है $(x,y)=(11,5).$ दूसरी ओर जोड़ी को पिछला-प्रतिस्थापन करना होता है $x+y=55,xy=16,x>y$, जिसका कोई निराकरण नहीं है। इसलिए प्रणाली को हल करने वाला निराकरण है $(x,y)=(11,5)$.

औपचारिक परिचय

$A$, $B$ कई गुना है $\Phi :A\rightarrow B$ एक हो $C^{r}$- के बीच भिन्नता है। $\Phi$ एक $r$ निरंतर अवकलनीय, विशेषण मानचित्र से $A$ को $B$ साथ $r$ बार लगातार अवकलनीय प्रतिलोम से $B$ को $A$ यहाँ $r$ कोई भी प्राकृतिक संख्या (या शून्य) हो सकती है, $\infty$ या $\omega$ (विश्लेषणात्मक कार्य) है।

नक्शा $\Phi$ एक नियमित समन्वय या नियमित चर प्रतिस्थापन कहा जाता है, जहां नियमित रूप से संदर्भित होता है $C^{r}$- को