एपोटेम

Not to be confused with Apophthegm.

एक षट्भुज का एपोटेम

Graphs of side, s; apothem, a; and area, A of regular polygons of n sides and circumradius 1, with the base, b of a rectangle with the same area. The green line shows the case n = 6.

अंतःत्रिज्या (कभी-कभी एपो के रूप में संक्षिप्त रूप में) एक [[नियमित बहुभुज]] का केंद्र से उसके एक पक्ष के मध्य बिंदु तक एक रेखा खंड है। समतुल्य रूप से, यह बहुभुज के केंद्र से खींची गई रेखा है जो इसकी एक भुजा पर लंबवत है। अपोथेम शब्द उस रेखा खंड की लंबाई को भी संदर्भित कर सकता है और प्राचीन यूनानी ἀπόθεμα (दूर रखो, एक तरफ रख दो), ἀπό (बंद, दूर) और θέμα (जो नीचे रखा गया है) से बना है, जो एक सामान्य रेखा का संकेत देता है। लिखा हुआ। नियमित बहुभुज एकमात्र ऐसे बहुभुज होते हैं जिनमें अपोथेम्स होते हैं। इस वजह से, एक बहुभुज में सभी अंतःत्रिज्याएँ सर्वांगसमता (ज्यामिति) होंगी।

एक नियमित पिरामिड (ज्यामिति) के लिए, जो एक पिरामिड है जिसका आधार एक नियमित बहुभुज है, अंतःत्रिज्या एक पार्श्व चेहरे की तिरछी ऊंचाई है; अर्थात्, किसी दिए गए चेहरे पर शीर्ष से आधार तक की सबसे छोटी दूरी। एक छोटे नियमित पिरामिड के लिए (आधार के समानांतर एक समतल (ज्यामिति) द्वारा हटाई गई चोटी के साथ एक नियमित पिरामिड), अंतःत्रिज्या एक चतुर्भुज पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है।

एक समबाहु त्रिभुज के लिए, अंतःत्रिज्या एक भुजा के मध्य बिंदु से त्रिभुज के केंद्र तक रेखा खंड के बराबर है।

अपोथेम्स के गुण

अंतःत्रिज्या a का उपयोग निम्न सूत्र के अनुसार पार्श्व लंबाई s के किसी भी नियमित n-भुजा वाले बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है, जिसमें यह भी कहा गया है कि क्षेत्रफल अंतःत्रिज्या के बराबर है जो परिधि के आधे भाग से गुणा किया जाता है क्योंकि ns = p।

$A={\frac {nsa}{2}}={\frac {pa}{2}}.$

यह सूत्र n-पक्षीय बहुभुज को n सर्वांगसमता (ज्यामिति) त्रिभुज#प्रकार के त्रिभुज में विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है, और फिर यह ध्यान में रखते हुए कि अंतःत्रिज्या प्रत्येक त्रिभुज की ऊँचाई है, और यह कि त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार के आधे गुणन के बराबर होता है। ऊंचाई। निम्नलिखित फॉर्मूलेशन सभी समकक्ष हैं:

$A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}=na^{2}\tan {\frac {\pi }{n}}$

एक नियमित बहुभुज का अंतःत्रिज्या हमेशा खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या होगी। यह बहुभुज के किसी भी भुजा और उसके केंद्र के बीच की न्यूनतम दूरी भी है।

इस संपत्ति का उपयोग किसी वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र को आसानी से प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है, क्योंकि जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुँचती है, नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल त्रिज्या r = a के उत्कीर्ण वृत्त के क्षेत्र तक पहुँच जाता है।

$A={\frac {pa}{2}}={\frac {(2\pi r)r}{2}}=\pi r^{2}$

अंतःकरण का पता लगाना

एक नियमित बहुभुज के अंतःत्रिज्या को कई तरीकों से पाया जा सकता है।

पार्श्व लंबाई s, या परित्रिज्या R के साथ एक नियमित n-पक्षीय बहुभुज का अंतःत्रिज्या निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

$a={\frac {s}{2\tan {\frac {\pi }{n}}}}=R\cos {\frac {\pi }{n}}.$

एपोटेम भी द्वारा पाया जा सकता है

$a={\frac {s}{2}}\tan {\frac {\pi (n-2)}{2n}}.$

इन सूत्रों का अभी भी उपयोग किया जा सकता है, भले ही केवल परिमाप p और भुजाओं की संख्या n ज्ञात हो क्योंकि s =p/n.

यह भी देखें

• नियमित बहुभुज#परित्रिज्या
• सगिट्टा (ज्यामिति)
• तार (त्रिकोणमिति)
• तिरछी ऊंचाई

बाहरी संबंध

• Apothem of a regular polygon With interactive animation
• Apothem of pyramid or truncated pyramid
• Pegg, Ed Jr. "Sagitta, Apothem, and Chord". The Wolfram Demonstrations Project.