बहुपद

For less elementary aspects of the subject, see Polynomial ring.

गणित में, बहुपद एक ऐसा व्यंजक है जिसमें अनिश्चित (चर भी कहा जाता है) और गुणांक होते हैं, जिसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा, और चर के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के संचालन सम्मिलित होते हैं। अनिश्चित x के बहुपद का एक उदाहरण: x² − 4x + 7 है। तीन चरों में एक उदाहरण: x³ + 2xyz² − yz + 1 है।

गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में बहुपद उपस्थित होता है। उदाहरण: उनका उपयोग बहुपद समीकरण बनाने के लिए किया जाता है, जो प्राथमिक शब्द समस्याओं से लेकर जटिल वैज्ञानिक समस्याओं तक, समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को एन्कोड करते हैं;उनका उपयोग बहुपद कार्यों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो बुनियादी रसायन विज्ञान और भौतिकी से लेकर अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान तक की सेटिंग्स में दिखाई देते हैं;वे अन्य कार्यों को अनुमानित करने के लिए कैलकुलस और संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग किए जाते हैं।उन्नत गणित में, बहुपद का उपयोग बहुपद के छल्ले और बीजगणितीय किस्मों के निर्माण के लिए किया जाता है, जो बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में केंद्रीय अवधारणाएं हैं।

व्युत्पत्ति

बहुपद शब्द दो विविध आधार को जोड़ता है: ग्रीक पॉली, जिसका अर्थ है "कई", और लैटिन नाम, या "नाम"। यह लैटिन मूल द्वि- को ग्रीक पॉली- के साथ बदलकर द्विपद शब्द से लिया गया था। अर्थात् इसका अर्थ अनेक पदों (एकपदी) का योग है। बहुपद शब्द का प्रयोग पहली बार 17वीं शताब्दी में किया गया था।

संकेतन और शब्दावली

File:Polynomialdeg3.svg

ग्राफ 3 के बहुपद फलन का आलेख

बहुपद में होने वाले x को आमतौर पर एक चर या अनिश्चित कहा जाता है। जब बहुपद को व्यंजक के रूप में माना जाता है, तो x एक निश्चित प्रतीक है जिसका कोई मान नहीं है (इसका मान "अनिश्चित" है)। हालांकि, जब कोई बहुपद द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन पर विचार करता है, तो x फ़ंक्शन के तर्क का प्रतिनिधित्व करता है, और इसलिए इसे "चर" कहा जाता है। कई लेखक इन दोनों शब्दों का परस्पर प्रयोग करते हैं।

अनिश्चित (इंडेटरमिनते) x में एक बहुपद P को आमतौर पर या तो P या P (x) के रूप में दर्शाया जाता है। औपचारिक रूप से, बहुपद का नाम P है, न कि P (x), लेकिन कार्यात्मक संकेतन P (x) का उपयोग उस समय से होता है जब बहुपद और संबंधित फ़ंक्शन के बीच का अंतर स्पष्ट नहीं था। इसके अलावा, कार्यात्मक संकेतन अक्सर एक वाक्यांश, एक बहुपद और उसके अनिश्चित में निर्दिष्ट करने के लिए उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, "मान लीजिए P (x) एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है" "मान लीजिए P अनिश्चित x में एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है। दूसरी ओर, जब अनिश्चित के नाम पर जोर देना आवश्यक नहीं है, तो कई सूत्र बहुत सरल और पढ़ने में आसान होते हैं यदि बहुपद की प्रत्येक घटना में अनिश्चित के नाम प्रकट नहीं होते हैं।

गणितीय वस्तु के लिए दो अंकन होने की अस्पष्टता को बहुपद के लिए कार्यात्मक संकेतन के सामान्य अर्थ पर विचार करके औपचारिक रूप से हल किया जा सकता है। यदि a एक संख्या, एक चर, एक अन्य बहुपद, या, अधिक सामान्य रूप से, किसी भी अभिव्यक्ति को दर्शाता है, तो P(a) परंपरा द्वारा, P में x के लिए a को प्रतिस्थापित करने के परिणाम को दर्शाता है। इस प्रकार, बहुपद P फ़ंक्शन को परिभाषित करता है।

$a\mapsto P(a),$

जो कि P से जुड़ा एक बहुपद फलन है। अक्सर, इस संकेतन का उपयोग करते समय, कोई यह मान लेता है कि a एक संख्या है। हालाँकि, कोई भी इसका उपयोग किसी भी डोमेन में कर सकता है जहाँ जोड़ और गुणा परिभाषित हैं (अर्थात कोई भी रिंग)। विशेष रूप से, यदि a एक बहुपद है तो P(a) भी एक बहुपद है।

अधिक विशेष रूप से, जब a अनिश्चित x है, तो इस फ़ंक्शन द्वारा x की छवि बहुपद P ही है (x के लिए x को प्रतिस्थापित करने से कुछ भी नहीं बदलता है)।

दूसरे शब्दों में,

$P(x)=P,$

जो औपचारिक रूप से एक ही बहुपद के लिए दो संकेतन के अस्तित्व को सही ठहराता है।

परिभाषा

बहुपद व्यंजक एक ऐसा व्यंजक है जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात के योग, गुणन और घातांक के माध्यम से स्थिरांक और प्रतीकों से बनाया जा सकता है जिन्हें चर या अनिश्चित कहा जाता है। स्थिरांक आम तौर पर संख्या होते हैं, लेकिन कोई भी अभिव्यक्ति हो सकती है जिसमें अनिश्चित शामिल नहीं होते हैं, और गणितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जिन्हें जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। दो बहुपद व्यंजकों को एक ही बहुपद को परिभाषित करने के रूप में माना जाता है, यदि वे रूपांतरित हो सकते हैं, एक से दूसरे में, जोड़ और गुणा के सामान्य गुणों को लागू करके कम्यूटेटिविटी, सहयोगीता और वितरण । उदाहरण के लिए $(x-1)(x-2)$ तथा $x^{2}-3x+2$ दो बहुपद व्यंजक हैं जो एक ही बहुपद को निरूपित करते हैं; तो, लिखा जाता है $(x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2.$

एकल अनिश्चित x में एक बहुपद को हमेशा फॉर्म में लिखा (या फिर से लिखा) जा सकता है:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

जहाँ पे $a_{0},\ldots ,a_{n}$ अचर हैं जो बहुपद के गुणांक कहलाते हैं, और $x$ अनिश्चित है। "अनिश्चित" शब्द का अर्थ है कि $x$ किसी विशेष मूल्य का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, हालांकि इसके लिए किसी भी मूल्य को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। मैपिंग जो इस प्रतिस्थापन के परिणाम को प्रतिस्थापित मान से जोड़ता है वह एक फ़ंक्शन है, जिसे बहुपद फ़ंक्शन कहा जाता है।

इसे और अधिक संक्षिप्त रूप से योग संकेतन का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$

अर्थात्, एक बहुपद या तो शून्य हो सकता है या गैर-शून्य पदों की एक परिमित संख्या के योग के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्येक पद में एक संख्या . का गुणनफल होता है – शब्द का गुणांक कहा जाता है और अनिश्चित की एक सीमित संख्या, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक शक्तियों तक विस्तारित की गयी है।

वर्गीकरण

Further information: Degree of a polynomial

एक शब्द में एक अनिश्चितता पर घातांक को उस शब्द में उस अनिश्चितता की डिग्री कहा जाता है;शब्द की डिग्री उस शब्द में अनिश्चितताओं की डिग्री का योग है, और एक बहुपद की डिग्री गैर -गुणांक के साथ किसी भी शब्द की सबसे बड़ी डिग्री है। क्योंकि x = x¹, एक लिखित प्रतिपादक के बिना एक अनिश्चित की डिग्री एक है।

बिना किसी अनिश्चितता के साथ एक शब्द और बिना किसी अनिश्चित के एक बहुपद को क्रमशः कहा जाता है, एक निरंतर शब्द और एक निरंतर बहुपद। एक निरंतर शब्द की डिग्री और एक नॉनज़ेरो निरंतर बहुपद की डिग्री 0. शून्य बहुपद 0 की डिग्री है (जिसमें कोई शब्द नहीं है) को आमतौर पर परिभाषित नहीं माना जाता है (लेकिन नीचे देखें)। उदाहरण के लिए:

$-5x^{2}y$

एक शब्द है।गुणांक है −5, अनिश्चित हैं x तथा y, की उपाधि x दो है, जबकि की डिग्री y एक है।पूरे शब्द की डिग्री इसमें प्रत्येक अनिश्चितता की डिग्री का योग है, इसलिए इस उदाहरण में डिग्री है 2 + 1 = 3।

कई शब्दों का योग बनाने से एक बहुपद पैदा होता है।उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एक बहुपद है:

$\underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}}.$

इसमें तीन शब्द होते हैं: पहला डिग्री दो है, दूसरा डिग्री एक है, और तीसरा डिग्री शून्य है।

छोटी डिग्री के बहुपद को विशिष्ट नाम दिए गए हैं।डिग्री शून्य का एक बहुपद एक निरंतर बहुपद है, या बस एक स्थिर है।डिग्री एक, दो या तीन के बहुपद क्रमशः रैखिक बहुपद, द्विघात बहुपद और क्यूबिक बहुपद हैं।उच्च डिग्री के लिए, विशिष्ट नामों का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है, हालांकि चतुर्थक बहुपद (डिग्री चार के लिए) और क्विंटिक बहुपद (डिग्री पांच के लिए) कभी -कभी उपयोग किए जाते हैं।डिग्री के नाम बहुपद या इसकी शर्तों पर लागू किए जा सकते हैं।उदाहरण के लिए, शब्द 2x में x² + 2x + 1 एक द्विघात बहुपद में एक रैखिक शब्द है।

बहुपद 0, जिसे कोई शर्त नहीं माना जा सकता है, को शून्य बहुपद कहा जाता है।अन्य निरंतर बहुपद के विपरीत, इसकी डिग्री शून्य नहीं है।बल्कि, शून्य बहुपद की डिग्री या तो स्पष्ट रूप से अपरिभाषित छोड़ दी जाती है, या नकारात्मक के रूप में परिभाषित की जाती है (या तो −1 या −−)। शून्य बहुपद भी अद्वितीय है कि यह एक अनिश्चित में एकमात्र बहुपद है जिसमें जड़ों की एक अनंत संख्या होती है।शून्य बहुपद का ग्राफ, f(x) = 0, एक्स-एक्सिस है।

एक से अधिक अनिश्चितता में बहुपद के मामले में, एक बहुपद को सजातीय कहा जाता है degree n यदि इसके सभी गैर-शून्य शर्तें हैं degree n।शून्य बहुपद सजातीय है, और, एक सजातीय बहुपद के रूप में, इसकी डिग्री अपरिभाषित है। उदाहरण के लिए, x³y² + 7x²y³ − 3x⁵ डिग्री 5 का सजातीय है। अधिक जानकारी के लिए, सजातीय बहुपद देखें।

इसके अतिरिक्त कानून का उपयोग किसी भी पसंदीदा आदेश में शर्तों को फिर से व्यवस्थित करने के लिए किया जा सकता है।एक अनिश्चित के साथ बहुपद में, शर्तों को आमतौर पर डिग्री के अनुसार आदेश दिया जाता है, या तो अवरोही शक्तियों में x, पहले सबसे बड़ी डिग्री के कार्यकाल के साथ, या आरोही शक्तियों में x।बहुपद 3x² - 5x + 4 के अवरोही शक्तियों में लिखा गया है x।पहले कार्यकाल में गुणांक है 3, अनिश्चित x, और प्रतिपादक 2।दूसरे कार्यकाल में, गुणांक is −5।तीसरा शब्द एक स्थिर है।क्योंकि एक गैर-शून्य बहुपद की डिग्री किसी एक शब्द की सबसे बड़ी डिग्री है, इस बहुपद की डिग्री दो है। एक ही शक्तियों के लिए उठाए गए एक ही अनिश्चितता के साथ दो शब्द समान शर्तों या जैसे शब्दों को कहा जाता है, और उन्हें एक ही शब्द में वितरण कानून का उपयोग करके संयुक्त किया जा सकता है, जिसका गुणांक उन शर्तों के गुणांक का योग है जो संयुक्त थे।ऐसा हो सकता है कि यह गुणांक 0 बनाता है।बहुपद को नॉनज़ेरो गुणांक के साथ शर्तों की संख्या से वर्गीकृत किया जा सकता है, ताकि एक-अवधि के बहुपद को एक मोनोमियल कहा जाता है, एक दो-अवधि के बहुपद को एक द्विपद कहा जाता है, और एक तीन-अवधि के बहुपद को ट्रिनोमियल कहा जाता है।क्वाड्रिनोमियल शब्द का उपयोग कभी-कभी चार-अवधि के बहुपद के लिए किया जाता है।

एक वास्तविक बहुपद वास्तविक गुणांक के साथ एक बहुपद है।जब इसका उपयोग किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, तो डोमेन इतना प्रतिबंधित नहीं होता है।हालांकि, एक वास्तविक बहुपद कार्य वास्तविक रूप से एक वास्तविक बहुपद द्वारा परिभाषित रियल के लिए एक फ़ंक्शन है।इसी तरह, एक पूर्णांक बहुपद पूर्णांक गुणांक के साथ एक बहुपद है, और एक जटिल बहुपद जटिल गुणांक के साथ एक बहुपद है।

एक अनिश्चित में एक बहुपद को एक अनिच्छुक बहुपद कहा जाता है, एक से अधिक अनिश्चितता में एक बहुपद को 'बहुभिन्नरूपी बहुपद' कहा जाता है।दो अनिश्चितताओं के साथ एक बहुपद को 'bivariate बहुपद' कहा जाता है।ये धारणाएं उस तरह के बहुपद के बारे में अधिक बताती हैं जो आमतौर पर व्यक्तिगत बहुपदों की तुलना में काम कर रही है;उदाहरण के लिए, जब Univariate Polynomials के साथ काम करते हैं, तो कोई भी निरंतर बहुपद (जो गैर-स्थिर बहुपद के घटाव के परिणामस्वरूप हो सकता है) को बाहर नहीं करता है, हालांकि सख्ती से बोलने के लिए, निरंतर बहुपद में कोई भी अनिश्चितता नहीं होती है।बहुभिन्नरूपी बहुपद को आगे बढ़ाना संभव है, जो कि अधिकतम संख्या में अनिश्चितता की अधिकतम संख्या के अनुसार bivariate, trivariate, और इसी तरह के रूप में वर्गीकृत है।फिर से, ताकि विचाराधीन वस्तुओं का सेट घटाव के तहत बंद हो जाए, ट्रिविअरेट बहुपदों का एक अध्ययन आमतौर पर बीवरिएट बहुपद की अनुमति देता है, और इसी तरह।यह केवल बहुपद में कहना भी आम है x, y, तथा z, अनुमत अनिश्चितता को सूचीबद्ध करना।

एक बहुपद के मूल्यांकन में प्रत्येक अनिश्चितता के लिए एक संख्यात्मक मान को प्रतिस्थापित करना और संकेतित गुणन और परिवर्धन को बाहर ले जाना शामिल है।एक अनिश्चित में बहुपद के लिए, मूल्यांकन आमतौर पर हॉर्नर की विधि का उपयोग करके अधिक कुशल (प्रदर्शन करने के लिए अंकगणित संचालन की कम संख्या) है:

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