दिष्‍ट तर्क

वेक्टर तर्क आव्यूह (गणित) पर आधारित प्राथमिक तर्क का बीजगणितीय गणितीय मॉडल है। वेक्टर तर्क मानता है कि सत्य मान वेक्टर (गणित और भौतिकी) पर मैप करता है, और यह कि एक अक विधेय कलन और बाइनरी फ़ंक्शन संक्रिया आव्यूह प्रचालकों द्वारा निष्पादित किए जाते हैं। सदिश स्थान के रूप में मौलिक प्रस्तावपरक तर्क के प्रतिनिधित्व को संदर्भित करने के लिए सदिश तर्क का भी उपयोग किया गया है, जिसमें इकाई वैक्टर प्रस्तावक चर हैं। विधेय तर्क को उसी प्रकार के सदिश स्थान के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें अक्ष विधेय अक्षरों $S$ और $P$ का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रस्तावपरक तर्क के लिए सदिश स्थान में मूल असत्य, F, और अनंत परिधि सत्य, T का प्रतिनिधित्व करती है, जबकि विधेय तर्क के लिए स्थान में मूल कुछ भी नहीं दर्शाता है और परिधि कुछ भी नहीं, या कुछ से उड़ान का प्रतिनिधित्व करती है।

अवलोकन

क्लासिक बाइनरी लॉजिक को एक (एक अक) या दो (युग्मकीय) वेरिएबल्स के आधार पर गणितीय कार्यों के एक छोटे से सेट द्वारा दर्शाया गया है। बाइनरी सेट में, मान 1 सत्य (तर्क) और मान 0 से असत्य (तर्क) से मेल खाता है। दो-मूल्यवान सदिश तर्क के लिए सत्य-मूल्य सत्य (टी) और असत्य (एफ) और दो क्यू-आयामी सामान्यीकृत वास्तविक संख्या-मूल्यवान स्तंभ वैक्टर एस और एन के बीच पत्राचार की आवश्यकता होती है, इसलिए:

$t\mapsto s$और$f\mapsto n$

(जहाँ $q\geq 2$ स्वेच्छ प्राकृतिक संख्या है, और सामान्यीकृत का अर्थ है कि वेक्टर का यूक्लिडियन मानदंड 1 है; आमतौर पर एस और एन ऑर्थोगोनल वैक्टर हैं)। यह पत्राचार सदिश सत्य-मानों का स्थान उत्पन्न करता है: V₂ = {s,n}। वैक्टर के इस सेट का उपयोग करके परिभाषित बुनियादी तार्किक संक्रिया आव्यूह प्रचालकों की ओर ले जाते हैं।

वेक्टर तर्क के संचालन क्यू-आयामी स्तंभ वैक्टर के बीच स्केलर उत्पाद पर आधारित होते हैं: $u^{T}v=\langle u,v\rangle$: सदिशों s और n के बीच ऑर्थोनॉर्मलिटी का तात्पर्य है कि $\langle u,v\rangle =1$ अगर $u=v$, और $\langle u,v\rangle =0$ अगर $u\neq v$, जहाँ $u,v\in \{s,n\}$.

एक अक संक्रिया

एक अक प्रचालकों का परिणाम आवेदन $Mon:V_{2}\to V_{2}$ से होता है, और संबद्ध आव्यूहों में q पंक्तियाँ और q स्तंभ हैं। इस दो-मूल्यवान वेक्टर तर्क के लिए दो बुनियादी एक अक संकारक पहचान फलन और तार्किक निषेध हैं:

• 'पहचान': तार्किक पहचान आईडी (पी) आव्यूह $I=ss^{T}+nn^{T}$ द्वारा दर्शाया गया है. यह आव्यूह निम्नानुसार संचालित होता है: Ip = p, p ∈ V₂; n के संबंध में s की ओर्थोगोनलिटी के कारण, हमारे पास $Is=ss^{T}s+nn^{T}s=s\langle s,s\rangle +n\langle n,s\rangle =s$ है, और इसी तरह $In=n$ है. यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह सदिश तर्क पहचान आव्यूह आम तौर पर आव्यूह बीजगणित के अर्थ में पहचान आव्यूह नहीं है।
• निषेध: तार्किक निषेध ¬p आव्यूह $N=ns^{T}+sn^{T}$ द्वारा दर्शाया गया है नतीजतन, Ns = n और Nn = s। तार्किक निषेध का समावेशन (गणित) व्यवहार, अर्थात् ¬(¬p) p के बराबर है, इस तथ्य से मेल खाता है कि N² = I।

युग्मकीय संकारक

16 दो-मूल्यवान युग्मकीय संकारक प्रकार $Dyad:V_{2}\otimes V_{2}\to V_{2}$ के कार्यों के अनुरूप हैं; युग्मकीय आव्यूह में q² पंक्तियाँ और q कॉलम होते हैं। आव्यूह जो इन डायाडिक ऑपरेशंस को अंजाम देते हैं, क्रोनकर उत्पाद के गुणों पर आधारित होते हैं। सदिश तर्क की औपचारिकता के लिए इस उत्पाद के दो गुण आवश्यक हैं:

1. The mixed-product property

   If A, B, C and D are matrices of such size that one can form the matrix products AC and BD, then

   $(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD$

2. Distributive transpose The operation of transposition is distributive over the Kronecker product:
   $(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.$

इन गुणों का उपयोग करते हुए, द्विअर्थी तर्क कार्यों के लिए व्यंजक प्राप्त किए जा सकते हैं:

• संयोजक: संयोजन (p∧q) आव्यूह द्वारा निष्पादित किया जाता है जो दो वेक्टर सत्य-मानों: $C(u\otimes v)$ पर कार्य करता है, यह आव्यूह मौलिक संयोजन सत्य-तालिका की विशेषताओं को इसके निर्माण में पुन: प्रस्तुत करता है:

$C=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T}$

और सत्यापित करता है

$C(s\otimes s)=s,$ और

$C(s\otimes <!--\; \otimes \; -->n)=C(n\otimes <!--\; \otimes \; -->s)=C$