पैरेटो फ्रंट

बहुउद्देश्यीय अनुकूलन में, पैरेटो फ्रंट (जिसे पेरेटो फ्रंटियर या पारेतो वक्र भी कहा जाता है) सभी पारेटो कुशल समाधानों का सेट है। अवधारणा का व्यापक रूप से अभियांत्रिकी में उपयोग किया जाता है। यह डिज़ाइनर को प्रत्येक पैरामीटर की पूरी श्रृंखला पर विचार करने के बजाय कुशल विकल्पों के सेट पर ध्यान केंद्रित करने और इस सेट के भीतर व्यापार-बंद करने की अनुमति देता है।

पैरेटो फ्रंटियर का उदाहरण। बॉक्सिंग बिंदु व्यवहार्य विकल्पों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और छोटे मूल्यों को बड़े लोगों के लिए पसंद किया जाता है। बिंदु C पेरेटो सीमा पर नहीं है क्योंकि यह बिंदु A और बिंदु B दोनों का प्रभुत्व है। बिंदु A और B पर किसी अन्य का सख्ती से प्रभुत्व नहीं है, और इसलिए यह सीमा पर स्थित है।

उत्पादन-संभावना की सीमा। लाल रेखा पारेटो-कुशल फ्रंटियर का एक उदाहरण है, जहां सीमांत और उसके नीचे का क्षेत्र विकल्पों का एक सतत सेट है। सीमांत पर लाल बिंदु उत्पादन के पारेटो-इष्टतम विकल्पों के उदाहरण हैं। सीमा से दूर के बिंदु, जैसे कि N और K, पारेतो-प्रभावी नहीं हैं, क्योंकि सीमांत पर ऐसे बिंदु मौजूद हैं जो उन पर पारेटो-प्रभुत्व रखते हैं।

परिभाषा

पेरेटो फ्रंटियर, पी (वाई), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। कार्य के साथ एक प्रणाली पर विचार करें $f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$, जहाँ X मीट्रिक स्थान में व्यवहार्य निर्णयों का एक कॉम्पैक्ट जगह है $\mathbb {R} ^{n}$, और Y में कसौटी वैक्टर का व्यवहार्य सेट है $\mathbb {R} ^{m}$, ऐसा है कि $Y=\{y\in \mathbb {R} ^{m}:\;y=f(x),x\in X\;\}$.

हम मानते हैं कि मापदंड मानों की पसंदीदा दिशाएँ ज्ञात हैं। एक बिंदु $y^{\prime \prime }\in \mathbb {R} ^{m}$ एक और बिंदु के लिए (सख्ती से हावी) पसंद किया जाता है $y^{\prime }\in \mathbb {R} ^{m}$, के रूप में लिखा गया है $y^{\prime \prime }\succ y^{\prime }$. पेरेटो सीमांत इस प्रकार लिखा गया है:

$P(Y)=\{y^{\prime }\in Y:\;\{y^{\prime \prime }\in Y:\;y^{\prime \prime }\succ y^{\prime },y^{\prime }\neq y^{\prime \prime }\;\}=\emptyset \}.$

प्रतिस्थापन की सीमांत दर

अर्थशास्त्र में पैरेटो फ्रंटियर का एक महत्वपूर्ण पहलू यह है कि पारेतो-कुशल आवंटन पर, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होती है। एम उपभोक्ताओं और एन वस्तुओं के साथ एक प्रणाली और प्रत्येक उपभोक्ता के उपयोगिता समारोह के रूप में विचार करके एक औपचारिक बयान प्राप्त किया जा सकता है $z_{i}=f^{i}(x^{i})$ कहाँ $x^{i}=(x_{1}^{i},x_{2}^{i},\ldots ,x_{n}^{i})$ माल का सदिश है, सभी के लिए i. व्यवहार्यता बाधा है $\sum _{i=1}^{m}x_{j}^{i}=b_{j}$ के लिए $j=1,\ldots ,n$. पेरेटो इष्टतम आवंटन खोजने के लिए, हम लैग्रैंगियन यांत्रिकी को अधिकतम करते हैं:

$L_{i}((x_{j}^{k})_{k,j},(\lambda _{k})_{k},(\mu _{j})_{j})=f^{i}(x^{i})+\sum _{k=2}^{m}\lambda _{k}(z_{k}-f^{k}(x^{k}))+\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}\left(b_{j}-\sum _{k=1}^{m}x_{j}^{k}\right)$

कहाँ $(\lambda _{k})_{k}$ और $(\mu _{j})_{j}$ गुणक के वैक्टर हैं। प्रत्येक अच्छे के संबंध में Lagrangian का आंशिक व्युत्पन्न लेना $x_{j}^{k}$ के लिए $j=1,\ldots ,n$ और $k=1,\ldots ,m$ और प्रथम-क्रम स्थितियों की निम्नलिखित प्रणाली देता है:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{L}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j^i}=f_{x_{}^{}}^{}$