संकारक (गणित)

This article is about operators in mathematics. For other uses, see Operator (disambiguation).

Not to be confused with the symbol denoting a mathematical operation or mathematical symbol.

गणित में, ऑपरेटर समान्यतः एक मैपिंग (गणित) या फलन (गणित) होता है जो किसी स्थान (गणित) के तत्वों पर कार्य करता है ताकि किसी अन्य स्थान के तत्वों का उत्पादन किया जा सके (संभवतः और कभी-कभी एक ही स्थान होने की आवश्यकता होती है)। ऑपरेटर की कोई सामान्य परिभाषा नहीं है, लेकिन इस शब्द का प्रयोग प्रायः फलन के स्थान पर किया जाता है, जब किसी फलन का डोमेन या अन्य संरचित वस्तुओं का एक सेट होता है। इसके अलावा, एक ऑपरेटर के डोमेन को स्पष्ट रूप से चित्रित करना प्रायः मुश्किल होता है (उदाहरण के लिए एक अभिन्न ऑपरेटर के मामले में), और संबंधित वस्तुओं तक बढ़ाया जा सकता है (एक ऑपरेटर जो कार्यों पर कार्य करता है, अंतर समीकरणों पर भी कार्य कर सकता है जिसका समाधान फलन हैं जो समीकरण को संतुष्ट करता है)। अन्य उदाहरणों के लिए ऑपरेटर (भौतिकी) देखें।

सबसे बुनियादी ऑपरेटर रैखिक मानचित्र हैं, जो सदिश रिक्त स्थान पर कार्य करते हैं। रेखीय संचालिकाएँ ऐसे रेखीय मानचित्रों को संदर्भित करती हैं जिनके डोमेन और श्रेणी समान स्थान पर हैं, उदाहरण के लिए $\mathbb {R} ^{n}$ को $\mathbb {R} ^{n}$। ऐसे ऑपरेटर अक्सर निरंतरता जैसे गुणों को संरक्षित करते हैं। उदाहरण के लिए, अवकलन (गणित) और अनिश्चित समाकलन रैखिक संकारक हैं, ऑपरेटर जो उनसे निर्मित होते हैं, उन्हें अंतर ऑपरेटर, समाकलन ऑपरेटर या समाकल अवकल ऑपरेटर कहा जाता है।

ऑपरेटर का उपयोग गणितीय संक्रियाओं के प्रतीक को दर्शाने के लिए भी किया जाता है। यह कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में ऑपरेटर के अर्थ से संबंधित है, ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) देखें।

रैखिक ऑपरेटर

Main article: Linear operator

सबसे आम प्रकार के ऑपरेटर का सामना रैखिक ऑपरेटरों से होता है। माना U और V क्षेत्र (गणित) K पर सदिश समष्टियाँ है। मानचित्रण (गणित) A: U → V रैखिक है यदि-

$$A(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha A\mathbf {x} +\beta A\mathbf {y}$$

सभी x, y के लिए U में और सभके लिए K में। इसका मतलब यह है कि एक रैखिक ऑपरेटर सदिश समष्टियों कि संक्रियाओं को संरक्षित करता है, इस अर्थ में कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप रैखिक ऑपरेटर को गुणन की संक्रिया और अदिश गुणन के पहले या बाद में लागू करते हैं या नहीं। अधिक तकनीकी शब्दों में, रैखिक ऑपरेटर सदिश समष्टि के बीच मॉर्फिज्म(आकारिता) हैं।

परिमित-आयामी मामले में रैखिक ऑपरेटरों को निम्नलिखित तरीके से आव्यूह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। मान लें कि $K$ एक क्षेत्र है और $U$ तथा $V$, $K$ पर परिमित-आयामी सदिश समष्टि हैं। आइए एक आधार चुनें $U$ में $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}$ तथा $V$ में $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$। तब माना $\mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}$, $U$ में एक यादृच्छिक सदिश है (आइंस्टीन कान्वेंशन मानते हुए), और $A:U\to V$ एक रैखिक ऑपरेटर है। तब-

$$A\mathbf {x} =x^{i}A\mathbf {u} _{i}=x^{i}(A\mathbf {u} _{i})^{j}\mathbf {v} _{j}.$$

तब $a_{i}^{j}:=(A\mathbf {u} _{i})^{j}\in K$ निश्चित आधारों में ऑपरेटर $A$ का आव्यूह है । $a_{i}^{j}$, $x$ की पसंद पर निर्भर नहीं करता है तथा $A\mathbf {x} =\mathbf {y}$ अगर $a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}$। इस प्रकार निश्चित आधारों में एन-बाय-एम आव्यूह $U$ से $V$ तक रैखिक ऑपरेटरों के लिए द्विभाजित सामंजस्य में हैं।

परिमित-आयामी सदिश समष्टि के बीच ऑपरेटरों से सीधे संबंधित महत्वपूर्ण अवधारणाएं आव्यूह रैंक, निर्धारक, व्युत्क्रम संकारक और अभिलक्षणिक समष्टि हैं।

रेखीय ऑपरेटर भी अनंत-आयामी मामले में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं। रैंक और निर्धारक की अवधारणाओं को अनंत-आयामी आव्यूह तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। यही कारण है कि अनंत-आयामी मामले में रैखिक ऑपरेटरों (और सामान्य रूप से ऑपरेटरों) का अध्ययन करते समय बहुत अलग तकनीकें नियोजित होती हैं। अनंत-आयामी मामले में रैखिक ऑपरेटरों के अध्ययन को कार्यात्मक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है (इसलिए कहा जाता है क्योंकि कार्यों के विभिन्न वर्ग अनंत-आयामी सदिश समष्टि के महत्वपूर्ण उदाहरण बनाते हैं)।

वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों का स्थान या अधिक सामान्यतः किसी सदिश समष्टि में सदिशों के अनुक्रम, स्वयं एक अनंत-आयामी सदिश समष्टि बनाते हैं। सबसे महत्वपूर्ण मामले वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनुक्रम हैं और ये स्थान, रैखिक उप-स्थानों के साथ, अनुक्रम समष्टि के रूप में जाने जाते हैं। इन स्थानों पर ऑपरेटरों को अनुक्रम परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।

मानक ऑपरेटर मानदंड के संबंध में बनच समष्टि पर परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर एक बनच बीजगणित बनाते हैं। बनच बीजगणित का सिद्धांत स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) की एक बहुत ही सामान्य अवधारणा विकसित करता है जो अभिलक्षणिक समष्टि के सिद्धांत को सामान्य रूप से सामान्यीकृत करता है।

परिबद्ध ऑपरेटर

Main articles: Bounded operator, Operator norm, and Banach algebra

माना U और V एक ही क्रमित फ़ील्ड पर दो सदिश समष्टि हैं (उदाहरण के लिए $\mathbb {R}$), और वे मानदंड (गणित) से युक्त हैं। तब U से V तक एक रैखिक संकारक को परिबद्ध कहा जाता है यदि वहाँ C > 0 ऐसा मौजूद हो

$$\|A\mathbf {x} \|_{V}\leq C\|\mathbf {x} \|_{U}$$

$U$ में सभी x के लिए।

परिबद्ध संकारक एक सदिश समष्टि बनाते हैं। इस सदिश समष्टि पर हम एक मानदंड पेश कर सकते हैं जो $U$ और $V$ के मानदंडों के अनुकूल है:

$$\|A\|=\inf\{C:\|A\mathbf {x} \|_{V}\leq C\|\mathbf {x} \|_{U}\}.$$

$U$से स्वयं के ऑपरेटरों के मामले में यह दिखाया जा सकता है-

$$\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|.$$

इस विशेषता के साथ किसी भी यूनिटल मानदंडों वाली बीजगणित को बनच बीजगणित कहा जाता है। इस तरह के बीजगणितों के लिए वर्णक्रमीय सिद्धांत को सामान्य बनाना संभव है। सी * - बीजगणित, जो कि कुछ अतिरिक्त संरचना वाले बनच बीजगणित हैं, क्वांटम यांत्रिकी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

उदाहरण

ज्यामिति

Main articles: General linear group and Isometry

ज्यामिति में, सदिश समष्टि पर अतिरिक्त संरचनाओं का कभी-कभी अध्ययन किया जाता है। संचालक जो इस तरह के सदिश समष्टि में स्वयं को विशेष रूप से मानचित्रित करते हैं, इन अध्ययनों में बहुत उपयोगी होते हैं, वे स्वाभाविक रूप से संरचना द्वारा समूह (गणित) बनाते हैं।

उदाहरण के लिए, सदिश समष्टि की संरचना को संरक्षित करने वाले द्विभाजित संचालको का ठीक उलटा कार्य रैखिक संचालक का हैं। वे रचना के तहत सामान्य रेखीय समूह बनाते हैं। उदाहरण, वे संचालकों के योग के तहत एक सदिश समष्टि नहीं बनाते हैं। दोनों आईडी और -आईडी व्युत्क्रमणीय (द्विभाजित) हैं, लेकिन उनका योग 0 नहीं है।

ऐसे स्थान पर यूक्लिडियन मीट्रिक को संरक्षित करने वाले संचालक सममिति समूह बनाते हैं, और जो मूलभूत रूप को ठीक करते हैं वे एक उपसमूह बनाते हैं जिसे आयतीय समूह के रूप में जाना जाता है। आयतीय समूह में संचालक जो सदिश टपल के अभिविन्यास को भी संरक्षित करते हैं, विशेष आयतीय समूह या घूर्णन समूह का निर्माण करते हैं।