कम द्रव्यमान

भौतिकी में, न्यूटोनियन यांत्रिकी की दो-शरीर की समस्या में दिखाई देने वाला प्रभावी द्रव्यमान#जड़त्वीय द्रव्यमान कम किया हुआ द्रव्यमान है। यह एक मात्रा है जो दो-शरीर की समस्या को हल करने की अनुमति देती है जैसे कि यह एक-शरीर की समस्या थी। हालाँकि, ध्यान दें कि गुरुत्वाकर्षण बल का निर्धारण करने वाला द्रव्यमान कम नहीं होता है। गणना में, एक द्रव्यमान को कम द्रव्यमान से बदला जा सकता है, यदि इसकी भरपाई दूसरे द्रव्यमान को दोनों द्रव्यमानों के योग से करके की जाती है। घटे हुए द्रव्यमान को अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है $\mu$ (म्यू (अक्षर)), हालांकि मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर को भी निरूपित किया जाता है $\mu$ (जैसे म्यू (अक्षर) #भौतिकी और इंजीनियरिंग)। इसमें द्रव्यमान का आयामी विश्लेषण और SI इकाई किग्रा है।

समीकरण

दो पिंड दिए गए हैं, एक का द्रव्यमान m है₁ और दूसरा द्रव्यमान m के साथ₂, अज्ञात के रूप में दूसरे के संबंध में एक शरीर की स्थिति के साथ समतुल्य एक-पिंड समस्या, द्रव्यमान के एकल पिंड की है

$\mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\!\,$

जहां इस द्रव्यमान पर बल दो पिंडों के बीच बल द्वारा दिया जाता है।

गुण

घटा हुआ द्रव्यमान हमेशा प्रत्येक पिंड के द्रव्यमान से कम या उसके बराबर होता है:

$\mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}\!\,$

और पारस्परिक योज्य संपत्ति है:

${\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\,\!$

जो पुनर्व्यवस्था द्वारा अनुकूल माध्य के आधे के बराबर है।

विशेष मामले में कि $m_{1}=m_{2}$:

${\mu }={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}\,\!$

अगर $m_{1}\gg m_{2}$, तब $\mu \approx m_{2}$.

व्युत्पत्ति

समीकरण निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है।

न्यूटोनियन यांत्रिकी

Main article: Newtonian mechanics

न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, एक पिंड (कण 2) द्वारा दूसरे पिंड (कण 1) पर लगाया गया बल है:

$\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}$

कण 1 द्वारा कण 2 पर लगाया गया बल है:

$\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}$

न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, कण 2 कण 1 पर जो बल लगाता है वह कण 1 द्वारा कण 2 पर लगाए गए बल के बराबर और विपरीत होता है:

$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

इसलिए:

$m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}$

सापेक्ष त्वरण ए_rel दो निकायों के बीच द्वारा दिया गया है:

$\mathbf {a} _{\rm {rel}}:=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}$

ध्यान दें कि (चूंकि व्युत्पन्न एक रैखिक ऑपरेटर है) सापेक्ष त्वरण $\mathbf {a} _{\rm {rel}}$ पृथक्करण के त्वरण के बराबर है $\mathbf {x} _{\rm {rel}}$ दो कणों के बीच।

${\mathbf{a}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\mathbf{a}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{a}}_2=\frac{d^2{\mathbf{x}}_1}{d{t}^2}-<!--\; -\; -->\frac{d^2{\mathbf{x}}_2}{d{t}^2}=\frac{d^2}{d{t}^2}({\mathbf{x}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{x}}_2)=\frac{d^2{\mathbf{x}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{d{t}^{}}$