5 का वर्गमूल

5 का वर्गमूल

Rationality	Irrational
Representations
Decimal	2.23606797749978969...
Algebraic form	${\sqrt {5}}$
Continued fraction	$2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}$
Binary	10.0011110001101110...
Hexadecimal	2.3C6EF372FE94F82C...

5 का वर्गमूल वह धनात्मक वास्तविक संख्या है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर अभाज्य संख्या 5 प्राप्त होती है। इसे अधिक सटीक रूप से 5 का मुख्य वर्गमूल कहा जाता है, ताकि इसे समान गुण वाली ऋणात्मक संख्या से अलग किया जा सके। यह संख्या सुनहरे अनुपात के लिए भिन्नात्मक व्यंजक में दिखाई देती है। इसे मूल रूप में निरूपित किया जा सकता है:

गणित>\sqrt{5}. \, </ गणित>

यह अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्या है। इसके दशमलव विस्तार के पहले साठ महत्वपूर्ण अंक हैं:

2.23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089... (sequence A002163 in the OEIS).

जिसे 99.99% सटीकता के भीतर 2.236 तक घटाया जा सकता है। सन्निकटन 161/72 (≈ 2.23611) पांच के वर्गमूल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। केवल 72 का भाजक होने के बावजूद, यह सही मान में कम से भिन्न होता है 1/10,000 (लगभग। 4.3×10⁻⁵) जनवरी 2022 तक, दशमलव में इसके संख्यात्मक मान की गणना कम से कम 2,250,000,000,000 अंकों तक की गई है।

तर्कसंगत सन्निकटन

5 के वर्गमूल को निरंतर अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$[2;4,4,4,4,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{{} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}}.$ (sequence A040002 in the OEIS)

निरंतर अंश का क्रमिक आंशिक मूल्यांकन, जिसे इसके अभिसरण, दृष्टिकोण कहा जाता है ${\sqrt {5}}$:

${\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}},{\frac {12238}{5473}},{\frac {51841}{23184}},\dots$

इनके अंश 2, 9, 38, 161,...(OEIS में अनुक्रम A001077 हैं) और उनके हर 1, 4, 17, 72, ...(OEIS में अनुक्रम A001076) हैं।

इनमें से प्रत्येक का एक सर्वोत्तम तर्कसंगत सन्निकटन है

अभिसरण के रूप में व्यक्त किया गया x/y, वैकल्पिक रूप से पेल के समीकरणों को संतुष्ट करें

$x^{2}-5y^{2}=-1\quad {\text{and}}\quad x^{2}-5y^{2}=1$

जब ${\sqrt {5}}$ वर्गमूल बेबीलोनियन पद्धति से अनुमानित किया गया है x₀ = 2 से शुरू होकर x_n+1 = 1/2(x_n + 5/x_n), का उपयोग करते हुए nवें अनुमानित x_n के निरंतर अंश के 2ⁿ अभिसरण के बराबर है:

$x_{0}=2.0,\quad x_{1}={\frac {9}{4}}=2.25,\quad x_{2}={\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad x_{3}={\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ldots ,\quad x_{4}={\frac {5374978561}{2403763488}}=2.23606797749979\ldots$

बेबीलोनियन विधि मूल खोज के लिए न्यूटन की विधि के बराबर है जो बहुपद पर लागू होती है $x^{2}-5$ न्यूटन की विधि अद्यतन, $x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n})$, के बराबर है $(x_{n}+5/x_{n})/2$ जब $f(x)=x^{2}-5$ इसलिए विधि द्विघात रूप से अभिसरण करती है।

सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्या से संबंध

${\sqrt {5}}/2$ h> आधे वर्ग का विकर्ण एक सुनहरे आयत के ज्यामितीय निर्माण का आधार बनता है।

सुनहरा अनुपात φ 1 और का अंकगणितीय माध्य है ${\sqrt {5}}$. के बीच बीजगणितीय संबंध ${\sqrt {5}}$, सुनहरा अनुपात और सुनहरा अनुपात#सुनहरा अनुपात संयुग्म और घात (Φ = –1/φ = 1 − φ) निम्नलिखित सूत्र में व्यक्त किया गया है:

${\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=\varphi -\Phi =2\varphi -1=1-2\Phi \\[5pt]\varphi &={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\\[5pt]\Phi &={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{aligned}}$

(एक के अपघटन के रूप में उनकी ज्यामितीय व्याख्या के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें ${\sqrt {5}}$ आयत।)