आइसोमेट्री

This article is about distance-preserving functions. For other mathematical uses, see isometry (disambiguation). For non-mathematical uses, see Isometric.

Not to be confused with Isometric projection.

गणित में, एक आइसोमेट्री (या सर्वांगसमता, या सर्वांगसम परिवर्तन) मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच एक दूरी -संरक्षण परिवर्तन है, जिसे आमतौर पर द्विभाजन माना जाता है। आइसोमेट्री शब्द प्राचीन ग्रीक से लिया गया है: ἴσος isos जिसका अर्थ है बराबर, और μέτρον metron जिसका अर्थ है माप।

दो यूक्लिडियन समूह # प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष आइसोमेट्रिस आइसोमेट्रीज़ की एक फ़ंक्शन रचना एक प्रत्यक्ष आइसोमेट्री है। एक रेखा में परावर्तन (गणित) एक विपरीत समरूपता है, जैसे R ₁ या R ₂ छवि पर। अनुवाद (ज्यामिति) T एक प्रत्यक्ष आइसोमेट्री है: कठोर शरीर।

परिचय

एक मीट्रिक स्थान (ढीला, एक सेट और सेट के तत्वों के बीच दूरी निर्दिष्ट करने के लिए एक योजना) को देखते हुए, एक आइसोमेट्री एक परिवर्तन (ज्यामिति) है जो तत्वों को उसी या किसी अन्य मीट्रिक स्थान पर मैप करता है जैसे कि छवि तत्वों के बीच की दूरी नया मीट्रिक स्थान मूल मीट्रिक स्थान में तत्वों के बीच की दूरी के बराबर है। द्वि-आयामी या त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, दो ज्यामितीय आंकड़े सर्वांगसमता (ज्यामिति) होते हैं यदि वे एक आइसोमेट्री द्वारा संबंधित होते हैं; आइसोमेट्री जो उन्हें संबंधित करती है वह या तो एक कठोर गति (अनुवाद या रोटेशन) है, या एक कठोर गति और एक प्रतिबिंब (गणित) की एक क्रिया संरचना है। आइसोमेट्री का उपयोग अक्सर निर्माण में किया जाता है जहां एक स्थान दूसरे स्थान में एम्बेडिंग होता है। उदाहरण के लिए, पूर्ण स्थान#मीट्रिक स्थान का समापन $\ M\$ से एक आइसोमेट्री शामिल है $\ M\$ में $\ M'\ ,$ कॉची अनुक्रम ों के स्थान का एक भागफल सेट $\ M\ .$ मूल स्थान $\ M\$ इस प्रकार एक पूर्ण मीट्रिक स्थान के उप-स्थान के लिए आइसोमेट्रिक रूप से समरूपता है, और इसे आमतौर पर इस उप-स्थान के साथ पहचाना जाता है। अन्य एम्बेडिंग निर्माणों से पता चलता है कि प्रत्येक मीट्रिक स्थान कुछ मानक सदिश स्थान के एक बंद सेट के लिए आइसोमेट्रिक रूप से समाकृतिकता है और यह कि प्रत्येक पूर्ण मीट्रिक स्पेस कुछ बनच स्थान के बंद उपसमुच्चय के लिए आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है।

हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर एक आइसोमेट्रिक सर्जेक्टिव लीनियर ऑपरेटर को एकात्मक ऑपरेटर कहा जाता है।

परिभाषा

होने देना $\ X\$ और $\ Y\$ मेट्रिक्स के साथ मीट्रिक स्पेस बनें (जैसे, दूरियां) $\ d_{X}\$ और $\ d_{Y}\ .$ एक समारोह (गणित) $\ f:X\to Y\$एक आइसोमेट्री कहा जाता है या यदि कोई हो तो दूरी को संरक्षित करता है $\ a,b\in X\$किसी के पास

$d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).$

एक आइसोमेट्री स्वचालित रूप से इंजेक्शन समारोह है; अन्यथा दो अलग-अलग बिंदुओं, ए और बी को एक ही बिंदु पर मैप किया जा सकता है, जिससे मीट्रिक डी के संयोग स्वयंसिद्ध का खंडन होता है। यह सबूत सबूत के समान है कि आंशिक रूप से आदेशित सेट ों के बीच एम्बेडिंग ऑर्डर इंजेक्शन है। स्पष्ट रूप से, मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच प्रत्येक आइसोमेट्री एक टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग है।

एक 'ग्लोबल आइसोमेट्री', 'आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म' या 'कॉन्ग्रेंस मैपिंग' एक विशेषण आइसोमेट्री है। किसी भी अन्य आपत्ति की तरह, एक वैश्विक आइसोमेट्री में एक फ़ंक्शन व्युत्क्रम होता है। वैश्विक आइसोमेट्री का व्युत्क्रम भी एक वैश्विक आइसोमेट्री है।

दो मीट्रिक रिक्त स्थान X और Y को 'आइसोमेट्रिक' कहा जाता है यदि X से Y तक एक विशेषण आइसोमेट्री है। मेट्रिक स्पेस से द्विभाजित आइसोमेट्रीज़ का सेट (गणित) फ़ंक्शन संरचना के संबंध में एक समूह (गणित) बनाता है, जिसे 'आइसोमेट्री समूह ' कहा जाता है।

पथ आइसोमेट्री या आर्कवाइज आइसोमेट्री की कमजोर धारणा भी है:

एक 'पाथ आइसोमेट्री' या 'आर्कवाइज़ आइसोमेट्री' एक नक्शा है जो आर्क की लंबाई#परिभाषा को संरक्षित करता है; इस तरह का नक्शा आवश्यक रूप से दूरी के संरक्षण के अर्थ में एक आइसोमेट्री नहीं है, और यह आवश्यक रूप से विशेषण या इंजेक्शन भी नहीं है। यह शब्द अक्सर केवल आइसोमेट्री के लिए संक्षिप्त होता है, इसलिए किसी को संदर्भ से निर्धारित करने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए कि किस प्रकार का इरादा है।

उदाहरण

• कोई भी प्रतिबिंब (गणित), अनुवाद (ज्यामिति) और रोटेशन यूक्लिडियन रिक्त स्थान पर एक वैश्विक आइसोमेट्री है। यूक्लिडियन समूह और भी देखें Euclidean space § Isometries.
• वो नक्शा $\ x\mapsto |x|\$ में $\ \mathbb {R} \$ एक पथ आइसोमेट्री है लेकिन (सामान्य) आइसोमेट्री नहीं है। ध्यान दें कि आइसोमेट्री के विपरीत, इस पथ आइसोमेट्री को इंजेक्शन होने की आवश्यकता नहीं है।

आदर्श स्थानों के बीच आइसोमेट्री

निम्नलिखित प्रमेय मजूर और उलम के कारण है।

परिभाषा: दो तत्वों का मध्यबिंदु x और y सदिश स्थान में सदिश है 1/2(x + y).

Theorem — Let A : X → Y be a surjective isometry between normed spaces that maps 0 to 0 (Stefan Banach called such maps rotations) where note that A is not assumed to be a linear isometry. Then A maps midpoints to midpoints and is linear as a map over the real numbers $\mathbb {R}$. If X and Y are complex vector spaces then A may fail to be linear as a map over $\mathbb {C}$.

रेखीय समरूपता

दो नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस दिए गए हैं $V$ और $W,$ एक रेखीय समरूपता एक रेखीय नक्शा है $A:V\to W$ जो मानदंडों को संरक्षित करता है:

$\|Av\|=\|v\|$

सबके लिए $\ v\in V\ .$ रैखिक आइसोमेट्री उपरोक्त अर्थों में दूरी-संरक्षित मानचित्र हैं। वे वैश्विक आइसोमेट्री हैं अगर और केवल अगर वे विशेषण हैं।

एक आंतरिक उत्पाद स्थान में, उपरोक्त परिभाषा कम हो जाती है

$\langle v,v\rangle =\langle Av,Av\rangle$

सबके लिए $v\in V\ ,$ जो ऐसा कहने के बराबर है $\ A^{\dagger }A=\operatorname {I} _{V}\ .$ इसका तात्पर्य यह भी है कि आइसोमेट्री आंतरिक उत्पादों को संरक्षित करती है, जैसे

$⟨<!--\; ⟨\; -->Au,Av⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->u,A^{†<!--\; †\; -->}Av⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->u$