समता (भौतिकी)

भौतिक विज्ञान में, एक समानता परिवर्तन (जिसे समता व्युत्क्रमण भी कहा जाता है) एक त्रिविम -आयामी अंतरिक्ष समन्वय के संकेत में घुमाव है। तीन आयामों में, यह तीनों स्थानिक निर्देशांक (एक बिंदु प्रतिबिंब) के संकेत में एक साथ घुमाव का भी उल्लेख कर सकता है:

$\mathbf {P} :{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-x\\-y\\-z\end{pmatrix}}.$

इसे एक भौतिक घटना के चिरायता (भौतिकी) के लिए एक परीक्षण के रूप में भी सोचा जा सकता है, जिसमें एक समता व्युत्क्रम एक घटना को अपनी दर्पण प्रतिबिम्ब में बदल देता है। मन्द अंतःक्रिया के अपवाद के साथ, प्राथमिक कणों की सभी मौलिक अंतःक्रिया समता के अंतर्गत होती हैं। मन्द अंतःक्रिया चिराल है और इस प्रकार भौतिक विज्ञान में चिरायता की परीक्षण के लिए एक साधन प्रदान किया जाता है। पारस्परिक क्रियाओं में जो समता के अंतर्गत हैं, जैसे कि परमाणु और आणविक भौतिक विज्ञान में विद्युत चुंबकत्व, समानता एक प्रभावशाली नियंत्रण सिद्धांत अंतर्निहित क्वांटम पारगमन के रूप में कार्य करता है।

P का एक आव्यूह निरूपण (किसी भी आयामों की संख्या में) निर्धारक 1 के समान होता है, और इसलिए एक घूर्णन से भिन्न होता है, जिसमें एक निर्धारक 1 के समान होता है। दो-आयामी विमान में, चिन्ह में सभी निर्देशांक का एक साथ घुमाव एक समता परिवर्तन नहीं है; यह 180° घुमाव के समान है।

क्वांटम यांत्रिकी में, एक समता परिवर्तन द्वारा अपरिवर्तित तरंग कार्यों को सम और विषम फलनों के कार्यों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जबकि जो एक समता परिवर्तन के अंतर्गत चिन्ह बदलते हैं वे विषम फलन हैं।

सरल समरूपता संबंध

See also: SU(2) का प्रतिनिधित्व सिद्धांत

घूर्णन के अंतर्गत, पारम्परिक ज्यामितीय वस्तुओं को अदिश (भौतिकी), यूक्लिडियन सदिश और उच्च श्रेणी के टेंसर में वर्गीकृत किया जा सकता है। पारम्परिक भौतिक विज्ञान में, भौतिक विन्यास को प्रत्येक समरूपता समूह के अभ्यावेदन के अंतर्गत बदलने की आवश्यकता होती है।

क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणी है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष में अवस्थाओं को घूर्णन के समूह (गणित) के निरूपण के अंतर्गत बदलने की जरूरत नहीं है, लेकिन यह केवल प्रक्षेपीय अभ्यावेदन के अंतर्गत होता है। प्रक्षेपीय शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि यदि कोई प्रत्येक अवस्था के चरण का प्रक्षेपण करता है, वहाँ हम याद रखते हैं कि क्वांटम अवस्था का संपूर्ण चरण अवलोकन योग्य नहीं है, तो एक प्रक्षेपीय अभ्यावेदन सामान्य अभ्यावेदन में कम हो जाता है। सभी अभ्यावेदन भी प्रक्षेपी अभ्यावेदन हैं, लेकिन इसके विपरीत सत्य नहीं है, इसलिए क्वांटम अवस्थाओं पर प्रक्षेप्य निरूपण की स्थिति पारम्परिक अवस्थाओं पर निरूपण की स्थिति से मन्द है।

किसी भी समूह का प्रक्षेप्य निरूपण समूह विस्तार समूह के केंद्रीय विस्तार के सामान्य निरूपण के लिए समरूप है। उदाहरण के लिए, 3-आयामी घूर्णन समूह के प्रक्षेपी निरूपण, जो कि विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(3) है, विशेष एकात्मक समूह SU(2) के सामान्य निरूपण हैं। घूर्णन समूह के प्रक्षेपी अभ्यावेदन जो अभ्यावेदन नहीं हैं उन्हें स्पाइनर कहा जाता है और इसलिए क्वांटम अवस्था न केवल टेन्सर के रूप में बल्कि स्पिनर्स के रूप में भी परिवर्तित हो सकते हैं।

यदि कोई इसमें समता द्वारा वर्गीकरण जोड़ता है, तो इन्हें विस्तारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, धारणाओं में

• अदिश (P = +1) और छद्म अदिश(भौतिकी) भौतिकी) (P = −1) जो घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय हैं।
• सदिश (P = −1) और अक्षीय सदिश (जिसे छद्म सदिश क्षेत्र भी कहा जाता है) (P = +1) जो दोनों घूर्णन के अंतर्गत सदिश के रूप में परिवर्तित हो जाते हैं।

कोई प्रतिबिंब को परिभाषित कर सकता है जैसे

$V_{x}:{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-x\\y\\z\end{pmatrix}},$

जिसका नकारात्मक निर्धारक भी है और एक वैध समता परिवर्तन बनाता है। फिर, उन्हें घूर्णन (या क्रमिक रूप से एक्स-, वाई-, और जेड-प्रतिबिंबों का संपादन) के साथ जोड़कर पहले से परिभाषित विशेष समता परिवर्तन को पुनः प्राप्त किया जा सकता है। दिया गया पहला समता परिवर्तन आयामों की एक समान संख्या में काम नहीं करता है, हालाँकि, इसका परिणाम एक सकारात्मक निर्धारक में होता है। सम आयामों में समता परिवर्तन (या निर्देशांक की विषम संख्या का कोई भी प्रतिबिंब) का केवल बाद वाला उदाहरण प्रयोग किया जा सकता है।

समानता ${\hat {\mathcal {P}}}^{2}={\hat {1}}$ संबंध के कारण एबेलियन समूह $\mathbb {Z} _{2}$ बनाती है। सभी एबेलियन समूहों के पास $\mathbb {Z} _{2}$ के लिए केवल एक आयामी अलघुकरणीय निरूपण है। दो अलघुकरणीय अभ्यावेदन हैं: एक समता के अंतर्गत ${\hat {\mathcal {P}}}\phi =+\phi$ भी है, दूसरा विषम ${\hat {\mathcal {P}}}\phi =-\phi$ है। ये क्वांटम यांत्रिकी में उपयोगी हैं। हालाँकि, जैसा कि नीचे विस्तृत किया गया है, क्वांटम यांत्रिकी में अवस्थाओं को समानता के वास्तविक निरूपण के अंतर्गत बदलने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि केवल प्रक्षेपीय अभ्यावेदन के अंतर्गत और इसलिए सिद्धांत रूप में एक समानता परिवर्तन किसी भी चरण (तरंगों) द्वारा अवस्था को घुमा सकता है।

ओ (3) का निरूपण

अदिशों, छद्म अदिश, सदिश और स्यूडोसदिश के उपरोक्त वर्गीकरण को लिखने का एक वैकल्पिक तरीका अभ्यावेदन स्थान के संदर्भ में है जिसमें प्रत्येक वस्तु रूपांतरित होती है। यह समूह समरूपता $\rho$ के संदर्भ में दिया जा सकता है, जो अभ्यावेदन को परिभाषित करता है। एक आव्यूह $R\in {\text{O}}(3),$के लिए,

• अदिशों : $\rho (R)=1$, तुच्छ निरूपण
• स्यूडोस्कालर: $\rho (R)=\det(R)$
• सदिश : $\rho (R)=R$, मौलिक निरूपण
• स्यूडो सदिश : $\rho (R)=\det(R)R.$

जब तक अभ्यावेदन ${\text{SO}}(3)$प्रतिबंधित है, अदिश और स्यूडोअदिश समान रूप से रूपांतरित होते हैं, जैसा कि सदिश और स्यूडोसदिश करते हैं।

पारम्परिक यांत्रिकी

न्यूटन का गति का समीकरण $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ (यदि द्रव्यमान स्थिर है) दो सदिशों के समान है, और इसलिए समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। गुरुत्व के नियम में भी केवल सदिश सम्मिलित होते हैं और इसलिए समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय भी है।

हालाँकि, कोणीय गति $\mathbf {L}$ एक अक्षीय सदिश है,

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} \\{\hat {P}}\left(\mathbf {L} \right)&=(-\mathbf {r} )\times (-\mathbf {p} )=\mathbf {L} .\end{aligned}}$

पारम्परिक वैद्युतगतिकी में, चार्ज घनत्व $\rho$ एक अदिश राशि है, विद्युत क्षेत्र, $\mathbf {E}$, और धारा $\mathbf {j}$ सदिश हैं, लेकिन चुंबकीय क्षेत्र, $\mathbf {B}$ एक अक्षीय सदिश है। हालाँकि, मैक्सवेल के समीकरण समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं क्योंकि अक्षीय सदिश का कर्ल (गणित) एक सदिश है।

पारम्परिक भौतिक विज्ञान के कुछ चरों पर स्थानिक व्युत्क्रमण का प्रभाव

पारम्परिक भौतिक चर के दो प्रमुख विभाजनों में या तो सम या विषम समता है। जिस तरह से विशेष चर और सदिश किसी भी श्रेणी में वर्गीकृत किये जाते हैं, वह इस बात पर निर्भर करता है कि अंतरिक्ष के आयामों की संख्या विषम या सम संख्या है या नहीं। समता परिवर्तन के लिए विषम या नीचे दी गई श्रेणियां एक अलग, लेकिन घनिष्ठ रूप से संबंधित वितरण है।

नीचे दिए गए उत्तर 3 स्थानिक आयामों के लिए सही हैं। उदाहरण के लिए, 2 आयामी अंतरिक्ष में, जब किसी ग्रह की सतह पर बने रहने के लिए बाध्य किया जाता है, तो कुछ चर पक्ष बदलते हैं।

विषम

पारम्परिक चर जिनके संकेत अंतरिक्ष के व्युत्क्रम में व्युत्क्रमणीय होने पर फ़्लिप करते हैं, वे मुख्य रूप से सदिश होते हैं। वे सम्मिलित करते हैं:

• $h$, the कुंडलता
• $\Phi$, the चुंबकीय प्रवाह
• $\mathbf {x}$, तीन अंतरिक्ष में एक कण की स्थिति
• $\mathbf {v}$, एक कण का वेग
• $\mathbf {a}$, एक कण का त्वरण कण वेग
• ${\displaystyle }$