C0-सेमीग्रुप

गणित में एक सीओ-semigroup घातांक प्रकार्य का सामान्यीकरण है, जिसे दृढ़ता से निरंतर एक-परिधि अर्थसमूह के रूप में भी जाना जाता है। जैसे घातांक प्रकार्य रैखिक निरंतर गुणांक सामान्य अंतर समीकरणों के समाधान प्रदान करते हैं, दृढ़ता से निरंतर सेमीग्रुप बनच रिक्त स्थान में रैखिक निरंतर गुणांक साधारण अंतर समीकरणों के समाधान प्रदान करते हैं। बानाच स्थानों में इस तरह के अंतर समीकरण उदा से उत्पन्न होते हैं। विलंब अवकल समीकरण और आंशिक अवकल समीकरण।

औपचारिक रूप से, एक दृढ़ता से निरंतर सेमीग्रुप सेमीग्रुप (आर₊,+) कुछ बनच स्पेस एक्स पर जो मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी में निरंतर है। इस प्रकार, कड़ाई से बोलना, एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह एक अर्धसमूह नहीं है, बल्कि एक विशेष अर्धसमूह का निरंतर प्रतिनिधित्व है।

औपचारिक परिभाषा

बनच स्थान पर एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह $X$ एक नक्शा है $T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)$ ऐसा है कि

1. $T(0)=I$,   (पहचान ऑपरेटर चालू $X$)
2. $\forall t,s\geq 0:\ T(t+s)=T(t)T(s)$
3. $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$, जैसा $t\downarrow 0$.

पहले दो स्वयंसिद्ध बीजगणितीय हैं, और यह बताएं $T$ अर्धसमूह का प्रतिनिधित्व है ${(\mathbb {R} _{+},+)}$; अंतिम टोपोलॉजिकल है, और बताता है कि map $T$ मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी में निरंतरता (टोपोलॉजी) है।

अनंत जनरेटर

दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी के अत्यल्प जनरेटर ए द्वारा परिभाषित किया गया है

$A\,x=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {1}{t}}\,(T(t)-I)\,x$

जब भी सीमा मौजूद है। A, D(A) का प्रांत, x∈X का समुच्चय है जिसके लिए यह सीमा मौजूद है; डी (ए) एक रैखिक उपसमष्टि है और ए इस डोमेन पर रैखिक है। ऑपरेटर ए बंद ऑपरेटर है, हालांकि आवश्यक रूप से बाध्य ऑपरेटर नहीं है, और डोमेन एक्स में सघन है। जेनरेटर ए के साथ दृढ़ता से निरंतर सेमीग्रुप टी को अक्सर प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है $e^{At}$ (या, समकक्ष, $\exp(At)$). यह संकेतन मैट्रिक्स घातीय के लिए और कार्यात्मक कलन (उदाहरण के लिए, वर्णक्रमीय प्रमेय के माध्यम से) के माध्यम से परिभाषित एक ऑपरेटर के कार्यों के लिए संगत है।

समान रूप से निरंतर अर्धसमूह

एक समान रूप से निरंतर सेमीग्रुप एक दृढ़ता से निरंतर सेमीग्रुप टी है जैसे कि

$\lim _{t\to 0^{+}}\|T(t)-I\|=0$

रखती है। इस स्थिति में, T का अत्यल्प जनरेटर A परिबद्ध है और हमारे पास है

${\mathcal {D}}(A)=X$

तथा

$T(t)=e^{At}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}t^{k}.$

इसके विपरीत, कोई बाध्य ऑपरेटर

$A\colon X\to X$

द्वारा दिए गए समान रूप से निरंतर सेमीग्रुप का अतिसूक्ष्म जनरेटर है

$T(t):=e^{At}$.

इस प्रकार, एक रैखिक संकारक A एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह का अतिसूक्ष्म जनरेटर है यदि और केवल यदि A एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है। यदि X एक परिमित-आयामी बैनच स्थान है, तो कोई भी दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह है। एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह के लिए जो एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह नहीं है, अत्यल्प जनरेटर A बाध्य नहीं है। इस मामले में, $e^{At}$ जुटने की जरूरत नहीं है।

उदाहरण

गुणन अर्धसमूह

बनच स्थान पर विचार करें $C_{0}(\mathbb {R} ):=\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} {\text{ continuous}}:\forall \epsilon >0~\exists c>0{\text{ such that }}\vert f(x)\vert \leq \epsilon ~\forall x\in \mathbb {R} \setminus [-c,c]\}$ अधिमान से संपन्न $\Vert <!--\; \Vert \; -->f\Vert <!--\; \Vert \; -->:={\text{sup}}_{x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}}|$