परिमित अंतर

परिमित अंतर रूप की गणितीय अभिव्यक्ति है f (x + b) − f (x + a)। यदि एक परिमित अंतर b − a से विभाजित किया जाता है, अंतर भागफल मिलता है। परिमित भिन्नताओं द्वारा यौगिक का अनुमान अंतर समीकरण के संख्यात्मक विश्लेषण समाधान के लिएपरिमित अंतर विधि यों में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है विशेष रूप से सीमा मूल्य समस्या के लिए निभाता है।

अंतर ऑपरेटर , आमतौर पर निरूपित $\Delta$ ऑपरेटर (गणित) है जो किसी फ़ंक्शन को मैप करता है f समारोह के लिए $\Delta [f]$ द्वारा परिभाषित

$\Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).$

एक अंतर समीकरण एक कार्यात्मक समीकरण है जिसमें परिमित अंतर ऑपरेटर उसी तरह शामिल होता है जैसे एक अंतर समीकरण में डेरिवेटिव शामिल होते हैं। अंतर समीकरणों और अंतर समीकरणों के बीच कई समानताएं हैं, विशेष रूप से हल करने के तरीकों में। पुनरावर्तन संबंध#अंतर समीकरणों के संबंध को संकीर्ण रूप से परिभाषित किया जा सकता है, जिसे परिमित अंतरों के साथ पुनरावृति संकेतन के स्थान पर अंतर समीकरणों के रूप में लिखा जा सकता है।

संख्यात्मक विश्लेषण में, डेरिवेटिव के साथ #Relation के लिए परिमित अंतर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और परिमित अंतर शब्द को अक्सर डेरिवेटिव के परिमित अंतर सन्निकटन के संक्षिप्त नाम के रूप में उपयोग किया जाता है। परिमित अंतर सन्निकटन ऊपर नियोजित शब्दावली में परिमित अंतर भागफल हैं।

1715 में ब्रुक टेलर द्वारा परिमित अंतर पेश किए गए थे और जॉर्ज बूले (1860), एल.एम. मिल्ने-थॉमसन (1933) द्वारा कार्यों में अमूर्त स्व-स्थायी गणितीय वस्तुओं के रूप में भी अध्ययन किया गया है, और Károly Jordan (1939)। परिमित अंतर अपनी उत्पत्ति को जोस्ट बर्गी के एल्गोरिदम में से एक में खोजते हैं (c. 1592) और आइजैक न्यूटन सहित अन्य लोगों द्वारा कार्य। परिमित भिन्नताओं की औपचारिक कलन को अत्यणुओं की कलन के विकल्प के रूप में देखा जा सकता है।

मूल प्रकार

thumb पर फ़ंक्शन के डेरिवेटिव का सबसे अच्छा सन्निकटन देता हैआमतौर पर तीन बुनियादी प्रकारों पर विचार किया जाता है: आगे, पीछे और केंद्रीय परिमित अंतर।

एक आगे का अंतर, निरूपित $\Delta _{h}[f],$ एक समारोह के (गणित) f के रूप में परिभाषित एक कार्य है

$\Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).$

आवेदन के आधार पर, रिक्ति h परिवर्तनशील या स्थिर हो सकता है। जब छोड़ा गया, h 1 लिया जाता है; वह है,

$\Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).$

एक पश्च अंतर फ़ंक्शन मानों का उपयोग करता है x और x − h, मूल्यों के बजाय पर x + h औरx:

$\nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).$

अंत में, केंद्रीय अंतर द्वारा दिया जाता है

$\delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x).$

डेरिवेटिव्स के साथ संबंध

परिमित अंतर अक्सर व्युत्पन्न के सन्निकटन के रूप में प्रयोग किया जाता है, आमतौर पर संख्यात्मक भिन्नता में।

एक समारोह का व्युत्पन्न f एक बिंदु पर x एक फ़ंक्शन की सीमा द्वारा परिभाषित किया गया है।

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

यदि h शून्य के करीब पहुंचने के बजाय एक निश्चित (गैर-शून्य) मान है, तो उपरोक्त समीकरण के दाहिने हाथ की ओर लिखा जाएगा

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.$

इसलिए, आगे के अंतर से विभाजित h डेरिवेटिव का अनुमान लगाता है जब h छोटा है। इस सन्निकटन में त्रुटि टेलर के प्रमेय से प्राप्त की जा सकती है। ये मानते हुए f दो बार अवकलनीय है, हमारे पास है

$\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h[}{}$