यांत्रिक लाभ

यांत्रिक लाभ एक यंत्र, यांत्रिक उपकरण या मशीन प्रणाली के उपयोग द्वारा प्राप्त बल प्रवर्धन की एक माप है। आउटपुट बल में वांछित प्रवर्धन प्राप्त करने के लिए उपकरण संचलन के विरुद्ध इनपुट बलों का विनिमय करता है। उत्तोलक का नियम, इसका एक प्रतिरूप है। बलों और संचलन को इस प्रकार प्रबंधित करने के लिए संरचित किए गए मशीन घटकों को तंत्र कहा जाता है। एक आदर्श तंत्र, इसमें बिना जोड़े या घटाए सामर्थ्य को प्रसारित करता है। इसका अर्थ है कि आदर्श मशीन में सामर्थ्य स्रोत सम्मिलित नहीं है, यह घर्षण रहित है, और ऐसे दृढ़ पिंडों से निर्मित है जिनमें विक्षेपण या घिसाव नहीं होता हैं। इस आदर्श के सापेक्ष एक वास्तविक प्रणाली का प्रदर्शन उन दक्षता कारकों के रूप में व्यक्त किया जाता है जो आदर्श से विचलन को ध्यान में रखते हैं।

उत्तोलक

Main article: उत्तोलक

उत्तोलक एक चल पट्टी है जो एक निश्चित बिंदु पर या उसके आस-पास लगे हुए या स्थित आलम्ब (आधार) पर घूर्णन करती है। उत्तोलक, आलम्ब या धुरी से अलग-अलग दूरियों पर बल आरोपित से संचालित होता है। आलम्ब का स्थान उत्तोलक की श्रेणी निर्धारित करता है। जहाँ एक उत्तोलक लगातार घूर्णन रहता है, यह घूर्णी द्वितीय-श्रेणी के उत्तोलक के रूप में कार्य करता है। उत्तोलक के अंत-बिंदु की गति एक निश्चित कक्षा का वर्णन करती है, जहाँ यांत्रिक ऊर्जा का विनिमय किया जा सकता है। (उदाहरण के रूप में हैंड-क्रैंक देखें।)

आधुनिक समय में, इस प्रकार के घूर्णी उत्तोलन का उपयोग व्यापक रूप से किया जाता है; एक (घूर्णी) द्वितीय-श्रेणी का उत्तोलक देखें; यांत्रिक सामर्थ्य संचरण योजना में प्रयुक्त गियर, घिरनी (पुली) या घर्षण ड्राइव देखें। एक से अधिक गियर (एक गियरसेट) के उपयोग के माध्यम से यांत्रिक लाभ के लिए 'निपात (विध्वंस)' रूप में हेरफेर करना सामान्य है। इस प्रकार के गियरसेट में, छोटी त्रिज्याओं और कम अंतर्निहित यांत्रिक लाभ वाले गियर का उपयोग किया जाता है। गैर-विध्वंस यांत्रिक लाभ का उपयोग करने के लिए, 'सही लंबाई' घूर्णी उत्तोलक का उपयोग करना आवश्यक होता है। कुछ प्रकार की विद्युत-मोटरों की संरचना में यांत्रिक लाभ का समावेश भी देखें; इसमें से एक संरचना 'तीव्रचालक' है।

File:Lever mechanical advantage.png

जब उत्तोलक आलम्ब पर घूर्णन करता है, तो इस धुरी से दूर के बिंदु धुरी के निकट बिंदुओं की तुलना में तीव्रता से आगे बढ़ते हैं। उत्तोलक में और इसके बाहर की सामर्थ्य समान होती है, इसलिए गणना करने पर सामर्थ्य समान आनी चाहिए। सामर्थ्य, बल और वेग का गुणनफल होता है, इसलिए धुरी से दूर के बिंदुओं पर आरोपित बल, पास के बिंदुओं पर आरोपित बल से कम होता है।

यदि आलम्ब से बिंदुओं A और B की दूरियाँ क्रमशः a और b हैं और A पर आरोपित बल, F_A इनपुट बल एवं B पर आरोपित बल, F_B आउटपुट बल है, बिंदुओं A और B के वेगों का अनुपात a/b है, तब आउटपुट बल और इनपुट बल का अनुपात, या यांत्रिक लाभ इस प्रकार हैː

$${\mathit {MA}}={\frac {F_{b}}{F_{a}}}={\frac {a}{b}}.$$

यह उत्तोलक का नियम है, जिसे आर्किमिडीज ने ज्यामितीय तर्क का उपयोग करके सिद्ध किया था। ये नियम यह दर्शाता है कि यदि आलम्ब से बिंदु A (जहाँ इनपुट बल आरोपित किया जाता है) तक की दूरी, आलम्ब से बिंदु B (जहाँ आउटपुट बल आरोपित किया जाता है) से अधिक है, तो उत्तोलक इनपुट बल को प्रवर्धित करता है। यदि आलम्ब से इनपुट बल की दूरी, आलम्ब से आउटपुट बल की दूरी से कम है, तो उत्तोलक इनपुट बल को कम कर देता है। उत्तोलक के नियम के गहन निहितार्थ और व्यावहारिकताओं को स्वीकार करते हुए, आर्किमिडीज़ को "मुझे खड़े होने के लिए एक स्थान दें और एक उत्तोलक के साथ मैं सम्पूर्ण विश्व को स्थानांतरित कर दूँगा" उद्धरण के लिए प्रसिद्ध रूप से उत्तरदायी माना गया है।

उत्तोलक के स्थैतिक विश्लेषण में वेग का उपयोग आभासी कार्य के सिद्धांत का एक अनुप्रयोग है।

गति अनुपात

Main article: गति अनुपात

सामर्थ्य आउटपुट के बराबर एक आदर्श तंत्र के लिए सामर्थ्य इनपुट की आवश्यकता, प्रणाली के इनपुट-आउटपुट गति अनुपात से यांत्रिक लाभ की गणना करने की एक आसान विधि प्रदान करती है।

कोणीय वेग ω_A से घूर्णन करने वाली ड्राइव पुली पर लगाई गई एक गियर ट्रेन (अवलि) का सामर्थ्य इनपुट, P=TAωA होता है, जिसका बल-आघूर्ण T_A होता है।

क्योंकि सामर्थ्य-प्रवाह स्थिर है, अतः आउटपुट गियर के बल-आघूर्ण T_B और कोणीय वेग ω_B को निम्न संबंध को संतुष्ट करना चाहिएː

$P=T_{A}\omega _{A}=T_{B}\omega _{B},\!$

परिणामस्वरुप,

${\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}.$

इससे पता चलता है कि एक आदर्श तंत्र के लिए इनपुट-आउटपुट गति अनुपात निकाय के यांत्रिक लाभ के बराबर होता है। यह रोबोट से लेकर संयोजन (लिंकेज) तक सभी यांत्रिक प्रणालियों पर प्रयुक्त होता है।

गियर ट्रेनें

Main article: गियर ट्रेन

गियर के दाँते इस प्रकार संरचित किए गए हैं कि एक गियर पर दाँतों की संख्या, इसके पिच वृत्त की त्रिज्या के समानुपाती होती है, जिससे जालक गियर के पिच वृत्त बिना फिसले एक-दूसरे पर लुढ़क सकें। जालक गियर के एक युग्म के लिए गति अनुपात की गणना, पिच वृत्तों की त्रिज्या के अनुपात और प्रत्येक गियर पर दाँतों की संख्या के अनुपात, अर्थात् गियर अनुपात से की जा सकती है।

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दो मेशिंग गियर घूर्णी गति संचारित करते हैं।

पिच वृत्तों पर संपर्क-बिंदु का वेग v दोनों गियरों पर समान होता है, जो कि इस प्रकार है

$v=r_{A}\omega _{A}=r_{B}\omega _{B},\!$

जहाँ इनपुट गियर A की त्रिज्या, r_A है, जो त्रिज्या r_B के आउटपुट गियर B के साथ फँसता है, अतः

${\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.$

जहां N_A,इनपुट गियर पर दाँतों की संख्या और N_B,आउटपुट गियर पर दाँतों की संख्या है।

जालक गियर के एक युग्म का यांत्रिक लाभ इस प्रकार है, जिसके लिए इनपुट गियर में दाँतों की संख्या N_A और आउटपुट गियर में दाँतों की संख्या N_B है

${\mathit {MA}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.$

इससे दर्शाता है कि यदि आउटपुट गियर G_B में दाँतों की संख्या, इनपुट गियर G_A की तुलना में अधिक है, तो गियर ट्रेन इनपुट बल-आघूर्ण को प्रवर्धित करती है। और, यदि आउटपुट गियर में दाँतों की संख्या, इनपुट गियर की तुलना में कम है, तो गियर ट्रेन इनपुट बल-आघूर्ण को कम कर देती है।

यदि गियर ट्रेन का आउटपुट गियर, इनपुट गियर की तुलना में अधिक धीरे घूर्णन करता है, तो गियर ट्रेन को गति अवमंदक (बल प्रवर्धक) कहा जाता है। इस स्थिति में, गति अवमंदक इनपुट बल-आघूर्ण को प्रवर्धित करता है, क्योंकि आउटपुट गियर में दाँतों की संख्या इनपुट गियर की तुलना में अधिक होनी चाहिए।

श्रृंखला और बेल्ट ड्राइव

एक श्रृंखला से जुड़े दो दंतचक्र, या एक बेल्ट से जुड़े दो पुली वाले तंत्र को सामर्थ्य संचरण प्रणालियों में एक विशिष्ट यांत्रिक लाभ प्रदान करने के लिए संरचित किया गया है।

दो दंतचक्रों या पुली के संपर्क में होने पर, श्रृंखला या बेल्ट का वेग, v समान होता है:

$v=r_{A}\omega _{A}=r_{B}\omega _{B},\!$

जहाँ इनपुट दंतचक्र या पुली A श्रृंखला या बेल्ट के साथ, पिच त्रिज्या r_A के अनुदिश और आउटपुट दंतचक्र या पुली B, पिच त्रिज्या r_B के अनुदिश फँसता है,

इसलिए

${\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.$

जहाँ N_A, इनपुट दंतचक्र पर दाँतों की संख्या और N_B, आउटपुट दंतचक्र पर दाँतों की संख्या है। दाँतेदार बेल्ट ड्राइव के लिए, दंतचक्र पर दाँतों की संख्या का उपयोग किया जा सकता है। घर्षण बेल्ट ड्राइव के लिए इनपुट और आउटपुट पुली की पिच त्रिज्या का उपयोग किया जाना चाहिए।

N_A दाँतों वाले इनपुट दंतचक्र और N_B दाँतों वाले आउटपुट दंतचक्र वाली श्रृंखला ड्राइव या दाँतेदार बेल्ट ड्राइव के एक युग्म का यांत्रिक लाभ इस प्रकार हैː

${\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.$

घर्षण बेल्ट ड्राइव के लिए यांत्रिक लाभ इस प्रकार है

${\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}.$

श्रृंखला और बेल्ट घर्षण, खिंचाव और घिसाव के माध्यम से सामर्थ्य का प्रसार करते हैं, जिसका अर्थ है कि सामर्थ्य आउटपुट वास्तव में सामर्थ्य इनपुट से कम होता है, अर्थात् वास्तविक प्रणाली का यांत्रिक लाभ एक आदर्श तंत्र के लिए गणना से कम होता है। एक श्रृंखला या बेल्ट ड्राइव में प्रणाली की घर्षण ऊष्मा, विरूपण और घिसाव के माध्यम से 5% सामर्थ्य की हानि हो सकती है, इस स्थिति में ड्राइव की दक्षता 95% होती है।

उदाहरण: साइकिल चेन ड्राइव

File:Bicycle mechanical advantage.svg

साइकिल के विभिन्न गियर में यांत्रिक लाभ। साइकिल पेडल और जमीन पर लागू विशिष्ट बल दिखाए जाते हैं, जैसे पेडल द्वारा स्थानांतरित की गई दूरी और पहिया द्वारा घुमाए गए हैं। ध्यान दें कि कम गियर में भी साइकिल का एमए 1 से कम होता है।

7 इंच (त्रिज्या) क्रैंक और 26 इंच (व्यास) पहियों वाली 18-गति साइकिल पर विचार करें। यदि क्रैंक और पिछले ड्राइव पहिये पर दंतचक्र समान आकार के हैं, तो टायर पर लगने वाले आउटपुट बल और पैडल पर लगने वाले इनपुट बल के अनुपात की गणना उत्तोलक के नियम से की जा सकती हैː

${\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {7}{13}}=0.54.$

अब, माना कि आगे के दंतचक्रों में 28 और 52 दाँतों का और पिछले दंतचक्रों में 16 और 32 दाँतों का विकल्प है। विभिन्न संयोजनों का उपयोग करते हुए, हम आगे और पीछे के दंतचक्रों के बीच निम्नलिखित गति अनुपातों की गणना कर सकते हैंː

गति अनुपात और कुल यांत्रिक लाभ (एमए)

	इनपुट(छोटा)	इनपुट(बड़ा)	आउटपुट (छोटा)	आउटपुट (बड़ा)	गति अनुपात	क्रैंक-व्हील अनुपात	कुल एमए
निम्न गति	28	-	-	32	1.14	0.54	0.62
मिड 1	-	52	-	32	0.62	0.54	0.33
मिड 2	28	-	16	-	0.57	0.54	0.31
उच्च गति	-	52	16	-	0.30	0.54	0.16

साइकिल संचालन बल और पेडल पर लगने वाले बल का अनुपात, अर्थात् यांत्रिक लाभ, गति अनुपात (या आउटपुट दंतचक्र/इनपुट दंतचक्र के दाँतों का अनुपात) और क्रैंक-पहिया उत्तोलक अनुपात के गुणनफल के बराबर होता है।

ध्यान दें कि प्रत्येक स्थिति में पैडल पर लगने वाला बल, साइकिल को आगे बढ़ाने वाले बल से अधिक होता है (ऊपर के उदाहरण में, भूमि पर संगत पश्चगामी-निर्देशित प्रतिक्रिया बल का संकेत दिया गया है)।

ब्लॉक करें और निपटें

एक ब्लॉक और टैकल एक रस्सी और पुली की एक असेंबली है जिसका उपयोग भार उठाने के लिए किया जाता है। ब्लॉक बनाने के लिए कई पुलियों को एक साथ इकट्ठा किया जाता है, एक जो स्थिर होती है और एक जो भार के साथ चलती है। यांत्रिक लाभ प्रदान करने के लिए रस्सी को चरखी के माध्यम से पिरोया जाता है जो रस्सी पर लगाए गए बल को बढ़ाता है।

एक ब्लॉक और टैकल सिस्टम के यांत्रिक लाभ को निर्धारित करने के लिए एक गन टैकल के साधारण मामले पर विचार करें, जिसमें सिंगल माउंटेड, या फिक्स्ड, पुली और सिंगल मूवेबल पुली हो। रस्सी को निश्चित ब्लॉक के चारों ओर पिरोया जाता है और चलते हुए ब्लॉक में गिर जाता है जहां इसे चरखी के चारों ओर पिरोया जाता है और निश्चित ब्लॉक पर गाँठ लगाने के लिए वापस लाया जाता है।

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एक ब्लॉक और टैकल का यांत्रिक लाभ रस्सी के वर्गों की संख्या के बराबर होता है जो गतिमान ब्लॉक का समर्थन करता है; यहाँ दिखाया गया है कि यह क्रमशः 2, 3, 4, 5 और 6 है।

बता दें कि S स्थिर ब्लॉक के एक्सल से रस्सी के अंत तक की दूरी है, जो कि A है जहां इनपुट बल लगाया जाता है। चलो R स्थिर ब्लॉक के एक्सल से गतिमान ब्लॉक के एक्सल तक की दूरी है, जो कि B है जहां भार लगाया जाता है।

रस्सी की कुल लंबाई L को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$L=2R+$