परिवृत्त

This article is about circumscribed circles in geometry. For other uses, see Circumscription (disambiguation).

File:Circumscribed Polygon.svg

एक चक्रीय बहुभुज, P का परिबद्ध वृत्त, C, और परिकेन्द्र, O

ज्यामिति में, किसी बहुभुज का परिबद्ध वृत्त या परिवृत्त एक वृत्त होता है जो बहुभुज के सभी शीर्षों (ज्यामिति) से होकर गुजरता है। इस वृत्त के केंद्र को परिकेन्द्र तथा इसकी त्रिज्या को परिवृत्त कहते हैं।

प्रत्येक बहुभुज का एक परिबद्ध वृत्त नहीं होता है। एक बहुभुज जिसमें एक होता है उसे चक्रीय बहुभुज कहा जाता है, या कभी-कभी एक चक्रीय बहुभुज कहा जाता है क्योंकि इसके शिखर चक्रीय होते हैं। सभी त्रिकोण, सभी नियमित बहुभुज सरल बहुभुज, सभी आयत, सभी समद्विबाहु समलंब, और सभी सही पतंग चक्रीय हैं।

एक संबंधित धारणा सबसे छोटी वृत्त समस्या में से एक है, जो कि सबसे छोटा वृत्त है जिसमें पूरी तरह से बहुभुज शामिल है, यदि वृत्त का केंद्र बहुभुज के भीतर है। प्रत्येक बहुभुज में एक अद्वितीय न्यूनतम बाउंडिंग सर्कल होता है, जिसे एक रेखीय समय एल्गोरिथम द्वारा निर्मित किया जा सकता है। भले ही किसी बहुभुज में एक परिबद्ध वृत्त हो, यह अपने न्यूनतम बाउंडिंग वृत्त से भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक अधिक त्रिकोण के लिए, न्यूनतम परिबद्ध वृत्त का व्यास के रूप में सबसे लंबा पक्ष होता है और विपरीत शीर्ष से नहीं गुजरता है।

त्रिकोण

सभी त्रिभुज चक्रीय हैं; अर्थात्, प्रत्येक त्रिभुज का एक परिबद्ध वृत्त होता है।

सीधा किनारा और कम्पास निर्माण

File:Circumcenter Construction.svg

त्रिभुज ABC के परिवृत्त की कम्पास-और-सीधी रचना ($\Delta ABC$) और परिकेन्द्र Q

त्रिभुज का परिकेन्द्र तीन द्विभाजन#लम्ब समद्विभाजकों में से किन्हीं दो को आरेखित करके परकार-और-सीधा किनारा निर्माण हो सकता है। तीन असंरेख बिंदुओं के लिए,

ये दो रेखाएँ समानांतर नहीं हो सकती हैं, और परिकेन्द्र वह बिंदु है जहाँ वे एक दूसरे को काटती हैं। समद्विभाजक पर कोई भी बिंदु उन दो बिंदुओं से समान दूरी पर होता है जिन्हें वह समद्विभाजित करता है, जिससे यह अनुसरण करता है कि यह बिंदु, दोनों द्विभाजकों पर, तीनों त्रिभुज शिखरों से समान दूरी पर है। परिधि इससे तीन शीर्षों में से किसी की दूरी है।

वैकल्पिक निर्माण

File:Triangle circumcenter alternate construction.svg

Alternative construction of the circumcenter (टूटी हुई रेखाओं का चौराहा)

परिकेन्द्र निर्धारित करने का एक वैकल्पिक तरीका यह है कि कोई भी दो रेखाएँ खींची जाएँ जिनमें से प्रत्येक किसी एक शीर्ष से उभयनिष्ठ भुजा के साथ एक कोण पर जाए, प्रस्थान का उभयनिष्ठ कोण 90° घटा विपरीत शीर्ष का कोण हो। (विपरीत कोण के अधिक कोण होने की स्थिति में ऋणात्मक कोण पर एक रेखा खींचने का अर्थ है त्रिभुज के बाहर जाना।)

मार्गदर्शन में, एक त्रिभुज के परिवृत्त का उपयोग कभी-कभी किसी कम्पास के उपलब्ध न होने पर सेक्सटेंट का उपयोग करके स्थिति रेखा प्राप्त करने के तरीके के रूप में किया जाता है। दो स्थलों के बीच का क्षैतिज कोण उस परिवृत्त को परिभाषित करता है जिस पर पर्यवेक्षक स्थित होता है।

परिवृत्त समीकरण

कार्तीय निर्देशांक

यूक्लिडियन विमान में, उत्कीर्ण त्रिभुज के शीर्षों के कार्टेशियन निर्देशांक के संदर्भ में स्पष्ट रूप से परिवृत्त का एक समीकरण देना संभव है। मान लो कि

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}$

बिंदुओं A, B और C के निर्देशांक हैं। परिवृत्त बिंदु 'v' = (v) का स्थान है_x, में_y) कार्तीय तल में समीकरणों को संतुष्ट करता है

${\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}$

यह गारंटी देते हुए कि बिंदु A, B, C, और v सभी वृत्त के सामान्य केंद्र u से r की समान दूरी पर हैं। ध्रुवीकरण पहचान का उपयोग करते हुए, ये समीकरण इस स्थिति में कम हो जाते हैं कि मैट्रिक्स (गणित)

${\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}$

एक अशून्य कर्नेल (रैखिक बीजगणित) है। इस प्रकार परिधि को वैकल्पिक रूप से इस मैट्रिक्स के निर्धारक के शून्य के स्थान (गणित) के रूप में वर्णित किया जा सकता है:

$\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.$

कॉफ़ेक्टर विस्तार का उपयोग करते हुए, आइए

${\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

फिर हमारे पास a|'v'| है² − 2Sv - b = 0 जहाँ S = (S_x, एस_y), और - यह मानते हुए कि तीन बिंदु एक रेखा में नहीं थे (अन्यथा परिवृत्त वह रेखा है जिसे अनंत पर S के साथ सामान्यीकृत वृत्त के रूप में भी देखा जा सकता है) - |v − S/a|² = b/a + |S|²/a², परिकेन्द्र S/a और परित्रिज्या दे रहा है √b/a + |S|²/a². इसी तरह का दृष्टिकोण किसी को टेट्राहेड्रॉन के परिधि के समीकरण को निकालने की अनुमति देता है।

पैरामीट्रिक समीकरण

सर्कल वाले विमान के लंबवत एक यूनिट वेक्टर द्वारा दिया गया है

${\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.$

इसलिए, त्रिज्या, r, केंद्र, P दिया गया है_c, वृत्त पर एक बिंदु, P₀ और वृत्त वाले समतल का एक इकाई अभिलंब, ${\textstyle {\widehat {n}}}$, बिंदु P से शुरू होने वाले वृत्त का एक पैरामीट्रिक समीकरण₀ और एक सकारात्मक रूप से उन्मुख (यानी, दाएं हाथ के नियम | दाएं हाथ के) अर्थ के बारे में आगे बढ़ना $\scriptstyle {\widehat {n}}$ निम्नलखित में से कोई:

$\mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].$

त्रिरेखीय और बेरिकेंट्रिक निर्देशांक

त्रिरेखीय निर्देशांक x : y : z में परिवृत्त के लिए एक समीकरण है a/x + b/y + c/z = 0. बेरसेंट्रिक निर्देशांक (गणित) x : y : z में परिवृत्त के लिए एक समीकरण है a²/x + b²/y + c²/z = 0.

परिवृत्त का समकोणीय संयुग्म अनंत पर रेखा है, जिसे त्रिरेखीय निर्देशांक में दिया गया है ax + by + cz = 0 और बैरीसेंट्रिक द्वारा निर्देशांक में x + y + z = 0.

उच्च आयाम

इसके अतिरिक्त, d आयामों में सन्निहित त्रिभुज का परिवृत्त एक सामान्यीकृत विधि का उपयोग करके पाया जा सकता है। मान लीजिए 'A', 'B' और 'C' d-विम बिंदु हैं, जो त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं। हम मूल बिंदु पर 'C' रखने के लिए सिस्टम को ट्रांसपोज़ करके शुरू करते हैं:

${\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}$

परिधि, आर, तब है

$r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},$

जहाँ θ 'a' और 'b' के बीच का आंतरिक कोण है। परिधि, पी₀, द्वारा दिया गया है

$p_{0}={\frac {(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .$

यह सूत्र केवल तीन आयामों में काम करता है क्योंकि क्रॉस उत्पाद को अन्य आयामों में परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन क्रॉस उत्पादों को निम्न पहचानों के साथ बदलकर इसे अन्य आयामों में सामान्यीकृत किया जा सकता है:

${\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {a} ,\\\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} ,\\\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.\end{aligned}}$

परिकेंद्र निर्देशांक

कार्तीय निर्देशांक

परिकेन्द्र के कार्तीय निर्देशांक $U=\left(U_{x},U_{y}\right)$ हैं

${\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}$

साथ

$D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,$

व्यापकता के नुकसान के बिना इसे कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के शीर्ष ए के अनुवाद के बाद सरलीकृत रूप में व्यक्त किया जा सकता है, यानी, जब A′ = A − A = (A′_x,A′_y) = (0,0). इस मामले में, शिखर के निर्देशांक B′ = B − A तथा C′ = C − A शीर्ष A' से इन शीर्षों तक सदिशों का प्रतिनिधित्व करते हैं। ध्यान दें कि यह तुच्छ अनुवाद सभी त्रिभुजों और परिकेन्द्र के लिए संभव है $U'=(U'_{x},U'_{y})$ त्रिभुज A'B'C' के रूप में अनुसरण करें

${\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}$

साथ

$D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,$

वर्टेक्स ए के मूल में अनुवाद के कारण, परिधि आर की गणना की जा सकती है

$r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}$

और ABC का वास्तविक परिकेन्द्र इस प्रकार है

$U=U'+A$

त्रिरेखीय निर्देशांक

परिकेन्द्र में त्रिरेखीय निर्देशांक होते हैं

cos α : cos β : cos γ

कहाँ पे α, β, γ त्रिभुज के कोण हैं।

भुजाओं की लंबाई a, b, c के संदर्भ में त्रिरेखीय हैं

$a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).$

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक

परिकेन्द्र में बैरीसेंट्रिक निर्देशांक होते हैं (गणित)

$a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,$

कहाँ पे a, b, c किनारे की लंबाई हैं (BC, CA, AB क्रमशः) त्रिभुज का।

त्रिभुज के कोणों के संदर्भ में $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ परिकेन्द्र के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं

$\sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .$

परिकेंद्र वेक्टर

चूँकि किसी भी बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक उन शीर्षों का भारित औसत होते हैं, जहाँ भार बिंदु के बेरसेंट्रिक निर्देशांक को एकता के योग के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, परिकेन्द्र सदिश को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.$

यहाँ U परिकेन्द्र का सदिश है और A, B, C शीर्ष सदिश हैं। यहाँ भाजक 16S के बराबर है ² जहां S त्रिभुज का क्षेत्रफल है। जैसा कि पहले कहा गया है

${\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}$

कार्टेशियन क्रॉस- और डॉट-उत्पादों से समन्वय करता है

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, किसी दिए गए तीन गैर-समरेख बिंदुओं P से गुजरने वाला एक अनूठा वृत्त है₁, पी₂, और पी₃. स्थानिक वैक्टर के रूप में इन बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करना, सर्कल के त्रिज्या और केंद्र की गणना करने के लिए डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद का उपयोग करना संभव है। होने देना

$\mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}$

तब वृत्त की त्रिज्या द्वारा दिया जाता है

$\mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}$

वृत्त का केंद्र रैखिक संयोजन द्वारा दिया गया है

$\mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}$

कहाँ पे

${\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}$

त्रिभुज के सापेक्ष स्थान

परिकेन्द्र की स्थिति त्रिभुज के प्रकार पर निर्भर करती है:

• एक तीव्र त्रिभुज के लिए (सभी कोण समकोण से छोटे होते हैं), परिकेंद्र हमेशा त्रिभुज के अंदर होता है।
• एक समकोण त्रिभुज के लिए, परिकेंद्र हमेशा कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। यह थेल्स प्रमेय का एक रूप है।
• अधिक कोण वाले त्रिभुज के लिए (एक त्रिभुज जिसका एक कोण समकोण से बड़ा होता है), परिकेन्द्र हमेशा त्रिभुज के बाहर स्थित होता है।

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The circumcenter of an acute triangle is inside the triangle

File:Triangle (Right) Circumscribed.svg

The circumcenter of a right triangle is at the midpoint of the hypotenuse

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The circumcenter of an obtuse triangle is outside the triangle

परिधि के लिए ऊपर दिए गए त्रिरेखीय या बेरिकेंट्रिक निर्देशांक पर विचार करके इन स्थानीय विशेषताओं को देखा जा सकता है: सभी तीन निर्देशांक किसी भी आंतरिक बिंदु के लिए धनात्मक होते हैं, कम से कम एक निर्देशांक किसी बाहरी बिंदु के लिए ऋणात्मक होता है, और एक निर्देशांक शून्य होता है और दो निर्देशांक के लिए धनात्मक होते हैं। त्रिभुज की एक भुजा पर एक गैर-शीर्ष बिंदु।

कोण

File:Circumcircle Angles 1.svg

File:Circumcircle Angles 2.svg

त्रिभुज की भुजाओं के साथ परिचालित वृत्त जो कोण बनाता है, वे उन कोणों से मेल खाते हैं जिन पर भुजाएँ एक दूसरे से मिलती हैं। पार्श्व विपरीत कोण α सर्कल को दो बार मिलता है: एक बार प्रत्येक छोर पर; प्रत्येक मामले में कोण α पर (इसी तरह अन्य दो कोणों के लिए)। यह 'वैकल्पिक खंड प्रमेय' के कारण है, जिसमें कहा गया है कि स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण वैकल्पिक खंड में कोण के बराबर है।

===त्रिभुज त्रिभुज ABC=== के परिवृत्त पर स्थित है इस खंड में, शीर्ष कोणों को A, B, C के रूप में लेबल किया गया है और सभी निर्देशांक त्रिरेखीय निर्देशांक हैं:

• स्टेनर पॉइंट (त्रिकोण) = बीसी / (बी² − सी²): के रूप में / (सी² − ए²) : एबी / (ए² − बी²) = स्टाइनर दीर्घवृत्त के साथ परिवृत्त के प्रतिच्छेदन का अशीर्ष बिंदु। (स्टाइनर दीर्घवृत्त, केंद्र = केन्द्रक (ABC) के साथ, कम से कम क्षेत्रफल का दीर्घवृत्त है जो A, B और C से होकर गुजरता है। इस दीर्घवृत्त के लिए एक समीकरण है 1/(ax) + 1/(by) + 1/(cz) = 0.)
• टैरी पॉइंट = सेक (ए + ω) : सेक (बी + ω) : सेक (सी + ω) = स्टेनर पॉइंट का एंटीपोड
• किपर्ट पैराबोला का फोकस = सीएससी (बी - सी): सीएससी (सी - ए): सीएससी (ए - बी)।

अन्य गुण

परिवृत्त का व्यास, जिसे परिवृत्त कहा जाता है और परिधि के दोगुने के बराबर होता है, की गणना त्रिकोण के किसी भी भुजा की लंबाई को विपरीत कोण की ज्या से विभाजित करके की जा सकती है:

${\text{diameter}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.$

ज्या के नियम के परिणामस्वरूप, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा पक्ष और विपरीत कोण लिया जाता है: परिणाम समान होगा।

परिधि के व्यास को भी व्यक्त किया जा सकता है

${\begin{aligned}{\text{diameter}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}$

जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं और s = (a + b + c)/2 अर्द्धपरिधि है। भावाभिव्यक्ति ${\sqrt {\scriptstyle {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ ऊपर त्रिभुज का क्षेत्रफल हैरोन के सूत्र द्वारा। परिवृत्त के व्यास के लिए त्रिकोणमितीय भाव शामिल हैं

${\text{diameter}}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.$

त्रिभुज के नौ-बिंदु वाले वृत्त का व्यास परिवृत्त का आधा होता है।

किसी दिए गए त्रिभुज में, परिकेन्द्र हमेशा केन्द्रक और लंबकेन्द्र के साथ संरेखी होता है। उन सभी से होकर गुजरने वाली रेखा को यूलर रेखा के रूप में जाना जाता है।

परिधि का आइसोगोनल संयुग्म ऑर्थोसेंटर है।

तीन बिंदुओं की उपयोगी सबसे छोटी वृत्त समस्या को या तो परिवृत्त (जहां तीन बिंदु न्यूनतम बाउंडिंग सर्कल पर हैं) या त्रिकोण के सबसे लंबे किनारे के दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है (जहां दो बिंदु वृत्त के एक व्यास को परिभाषित करते हैं)। न्यूनतम बाउंडिंग सर्कल को परिवृत्त के साथ भ्रमित करना आम है।

तीन समरेख बिंदुओं का परिवृत्त वह रेखा है जिस पर तीन बिंदु स्थित होते हैं, जिसे अक्सर अनंत त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में संदर्भित किया जाता है। लगभग संरेख बिंदु अक्सर परिवृत्त की गणना में संख्यात्मक अस्थिरता का कारण बनते हैं।

त्रिभुजों के परिवृत्तों का बिंदुओं के समुच्चय (गणित) के डेलाउने त्रिकोणासन से घनिष्ठ संबंध होता है।

ज्यामिति में यूलर के प्रमेय द्वारा परिकेन्द्र O तथा अंतःकेन्द्र I के बीच की दूरी है

$OI={\sqrt {R(R-2r)}},$

जहाँ r अंतःवृत्त त्रिज्या है और R परिवृत्त त्रिज्या है; इसलिए परित्रिज्या अंतःत्रिज्या से कम से कम दुगुनी है (यूलर असमानता|यूलर की त्रिकोण असमानता), केवल समबाहु त्रिभुज मामले में समानता के साथ। ओ और ऑर्थोसेंटर एच के बीच की दूरी है

$OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.$

केन्द्रक G और नौ-बिंदु केंद्र N के लिए हमारे पास है

${\begin{aligned}IG&<IO,\\2IN&<IO,\\OI^{2}&=2R\cdot IN.\end{aligned}}$

भुजाओं a, b, और c वाले त्रिभुज की अंतःवृत्त त्रिज्या और परिवृत्त त्रिज्या का गुणनफल है

$rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.$

परिधि R के साथ, भुजाएँ a, b, c और माध्यिका (ज्यामिति) m_a, एम_b, और एम_c, अपने पास

${\begin{aligned}3{\sqrt {3}}R&\geq a+b+c\\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\\[5pt]{\frac {27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}$

यदि माध्यिका m, ऊँचाई h, और आंतरिक समद्विभाजक t सभी परिवृत्त R वाले त्रिभुज के एक ही शीर्ष से निकलते हैं, तो

$4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).$

कार्नोट का प्रमेय (इनरेडियस, सर्कमरेडियस) | कार्नोट का प्रमेय कहता है कि परिधि से तीन तरफ की दूरी का योग परिधि और अंतःत्रिज्या के योग के बराबर है। यहां खंड की लंबाई ऋणात्मक मानी जाती है यदि और केवल यदि खंड पूरी तरह से त्रिभुज के बाहर स्थित हो।

यदि किसी त्रिभुज के दो विशेष वृत्त इसके परिवृत्त और अंतःवृत्त हैं, तो परिवृत्त पर एक शीर्ष के रूप में किसी भी बिंदु के साथ एक ही परिवृत्त और अंतःवृत्त के साथ अनंत संख्या में अन्य त्रिभुज मौजूद हैं। (यह पोंसलेट के पोरिज्म का n = 3 मामला है)। ऐसे त्रिभुजों के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त उपरोक्त समानता है $OI={\sqrt {R(R-2r)}}.$

चक्रीय चतुर्भुज

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चक्रीय चतुर्भुज

Main article: Cyclic quadrilateral

जिन चतुर्भुजों को परिचालित किया जा सकता है, उनमें विशेष गुण होते हैं, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि विपरीत कोण पूरक कोण हैं (180° या π रेडियन तक जोड़कर)।

चक्रीय एन-गोंन्स

File:Annuli with same area around unit regular polygons.svg

वलय (गणित) जीवा सूत्र के परिणाम के रूप में, प्रत्येक इकाई नियमित एन-गॉन के परिवृत्त और अंतःवृत्त से घिरा क्षेत्र है π/4

भुजाओं की विषम संख्या वाले चक्रीय बहुभुज के लिए, सभी कोण बराबर होते हैं यदि और केवल यदि बहुभुज नियमित हो। भुजाओं की सम संख्या वाले एक चक्रीय बहुभुज के सभी कोण बराबर होते हैं यदि और केवल यदि एकांतर भुजाएँ बराबर हों (अर्थात् भुजाएँ 1, 3, 5, ... बराबर हों और भुजाएँ 2, 4, 6, ... बराबर हैं)।

तर्कसंगत संख्या पक्षों और क्षेत्र के साथ एक चक्रीय पेंटागन को रॉबिन्स पेंटागन के रूप में जाना जाता है; सभी ज्ञात मामलों में, इसके विकर्णों की परिमेय लंबाई भी होती है। सम n वाले किसी भी चक्रीय n-गॉन में, वैकल्पिक कोणों के एक सेट (पहला, तीसरा, पाँचवाँ, आदि) का योग एकांतर कोणों के दूसरे सेट के योग के बराबर होता है। यह n = 4 मामले से प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, प्रत्येक मामले में एक पक्ष को तीन और पक्षों के साथ बदल दिया जाता है और यह देखते हुए कि ये तीन नए पक्ष पुराने पक्ष के साथ मिलकर एक चतुर्भुज बनाते हैं जिसमें स्वयं यह गुण होता है; बाद वाले चतुर्भुज के एकांतर कोण पिछले n-गॉन के वैकल्पिक कोणों के जोड़ का प्रतिनिधित्व करते हैं।

एक एन-गॉन को एक सर्कल में खुदा हुआ होने दें, और दूसरे एन-गॉन को पहले एन-गॉन के शीर्ष पर उस सर्कल के स्पर्शरेखा बहुभुज होने दें। तब वृत्त के किसी भी बिंदु P से, P से पहले n-गॉन की भुजाओं की लम्बवत दूरियों का गुणनफल, P से दूसरे n-गॉन की भुजाओं की लम्बवत दूरियों के गुणनफल के बराबर होता है।

परिवृत्त पर बिंदु

मान लीजिए एक चक्रीय n-गॉन के शीर्ष A हैं₁ , ..., ए_n यूनिट सर्कल पर। फिर लघु चाप A पर किसी बिंदु M के लिए₁A_n, M से शीर्षों तक की दूरियाँ संतुष्ट करती हैं

${\begin{cases}MA_{1}+MA_{3}+\cdots +MA_{n-2}+MA_{n}<n/{\sqrt {2}}&{\text{if }}n{\text{ is odd}};\\MA_{1}+MA_{3}+\cdots +MA_{n-3}+MA_{n-1}\leq n/{\sqrt {2}}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}$

नियमित एन-गॉन के लिए, यदि $MA_{i}$ किसी भी बिंदु से दूरी हैं $M$ परिवृत्त पर शीर्षों तक $A_{i}$, फिर

$3(MA_{1}^{2}+MA_{2}^{2}+...+MA_{n}^{2})^{2}=2n(MA_{1}^{4}+MA_{2}^{4}+...+MA_{n}^{4}).$

=== परिबद्ध स्थिरांक === बहुभुज

File:Kepler constant inverse.svg

परिबद्ध बहुभुजों और वृत्तों का एक क्रम।

कोई भी नियमित बहुभुज चक्रीय होता है। एक इकाई वृत्त पर विचार करें, फिर एक नियमित त्रिभुज को इस प्रकार परिचालित करें कि प्रत्येक भुजा वृत्त को स्पर्श करे। एक वृत्त का परिक्रमण करें, फिर एक वर्ग का परिक्रमण करें। फिर से एक वृत्त का परिसीमन करें, फिर एक नियमित पंचभुज का परिसीमन करें, और इसी तरह आगे भी। परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्या तथाकथित परिवृत्त स्थिरांक में अभिसरित होती है

$\prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}=8.7000366\ldots .$

(sequence A051762 in the OEIS). इस स्थिरांक का व्युत्क्रम केप्लर-बाउकैंप स्थिरांक है।

यह भी देखें

• द्रव्यमान का परिकेंद्र
• सर्कमगॉन
• परिबद्ध क्षेत्र
• सर्कमसेवियन त्रिकोण
• खुदा हुआ घेरा
• चक्रीय बहुभुजों के लिए जापानी प्रमेय
• चक्रीय चतुर्भुजों के लिए जापानी प्रमेय
• जंग की प्रमेय, एक बिंदु के व्यास से संबंधित एक असमानता जो उसके न्यूनतम बाउंडिंग गोले की त्रिज्या पर सेट है
• कोस्निटा प्रमेय
• लेस्टर की प्रमेय
• स्पर्शरेखा बहुभुज
• त्रिकोण केंद्र

बाहरी संबंध

• Derivation of formula for radius of circumcircle of triangle at Mathalino.com
• Semi-regular angle-gons and side-gons: respective generalizations of rectangles and rhombi at Dynamic Geometry Sketches, interactive dynamic geometry sketch.

मैथवर्ल्ड

• Weisstein, Eric W. "Circumcircle". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Cyclic Polygon". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Steiner circumellipse". MathWorld.

इंटरएक्टिव

• त्रिभुज परिवृत्त और परिकेन्द्र इंटरैक्टिव एनीमेशन के साथ
• परिकेन्द्र के लिए एक इंटरैक्टिव जावा एप्लेट

श्रेणी:त्रिकोण के लिए परिभाषित वृत्त श्रेणी:कम्पास और स्ट्रेटएज निर्माण