फेनमैन आरेख

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इस फेनमैन आरेख में, एक इलेक्ट्रॉन (e−) और एक पॉज़िट्रॉन (e+) एनीहिलेट , फोटॉन का निर्माण करता है। (γ, नीली साइन लहर द्वारा दर्शाया गया) जो क्वार्क - एंटीक्वार्क जोड़ी (क्वार्क q, एंटीक्वार्क q̄) बन जाता है, जिसके बाद एंटीक्वार्क ग्लूऑन (g) का विकिरण करता है। हरे हेलिक्स द्वारा दर्शाया गया है)।

} === यूक्लिडियन अदिश प्रसारक का एक विचारोत्तेजक प्रतिनिधित्व है:${\frac {1}{p^{2}+m^{2}}}=\int _{0}^{\infty }e^{-\tau \left(p^{2}+m^{2}\right)}\,d\tau$ इस पहचान का अर्थ (जो एक प्राथमिक एकीकरण है) फूरियर को वास्तविक स्थान में बदलने से स्पष्ट हो जाता है।$\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau e^{-m^{2}\tau }{\frac {1}{({4\pi \tau })^{d/2}}}e^{\frac {-x^{2}}{4\tau }}$ के किसी एक मूल्य पर योगदान τ प्रसारक के लिए चौड़ाई का गाऊसी है √τ. 0 से . तक कुल प्रसार कार्य x सभी उचित समयों पर भारित योग है τ एक सामान्यीकृत गाऊसी के, पर समाप्त होने की प्रायिकता x समय के एक यादृच्छिक चलने के बाद τ. प्रचारक के लिए पथ-अभिन्न प्रतिनिधित्व तब है:$\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau \int DX\,e^{-\int \limits _{0}^{\tau }\left({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}+m^{2}\right)d\tau '}$ जो श्विंगर प्रतिनिधित्व का पथ-अभिन्न पुनर्लेखन है। श्विंगर का प्रतिनिधित्व प्रोपेगेटर के कण पहलू को प्रकट करने के लिए और लूप आरेखों के सममित हर के लिए उपयोगी है। हर को मिलाना श्विंगर प्रतिनिधित्व में लूप आरेखों के लिए तत्काल व्यावहारिक अनुप्रयोग है। उदाहरण के लिए, में आरेख के लिए φ4 दो को मिलाने से बना सिद्धांत xदो अर्ध-पंक्तियों में एक साथ, और शेष रेखाओं को बाहरी बनाते हुए, लूप में आंतरिक प्रसारकों पर अभिन्न है: $\int _{k}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p)^{2}+m^{2}}}\,.$ यहाँ एक पंक्ति गति करती है k और दूसरा k + p. श्विंगर प्रतिनिधित्व में सब कुछ डालकर विषमता को ठीक किया जा सकता है।$\int _{t,t'}e^{-t(k^{2}+m^{2})-t'\left((k+p)^{2}+m^{2}\right)}\,dt\,dt'\,.$ अब घातांक अधिकतर निर्भर करता है t + t′,$\int _{t,t'}e^{-(t+t')(k^{2}+m^{2})-t'2p\cdot k-t'p^{2}}\,,$ असममित थोड़ा सा छोड़कर। चर को परिभाषित करना u = टी + टी′ और v = t′/u, चर u 0 से तक जाता है ∞, जबकि v 0 से 1 तक जाता है। चर u लूप के लिए कुल उचित समय है, जबकि v लूप के शीर्ष बनाम नीचे के उचित समय के अंश को पैरामीट्रिज़ करता है। जैकोबियन चर के इस परिवर्तन के लिए पहचान से काम करना आसान है:$d(uv)=dt'\quad du=dt+dt'\,,$ और वेडिंग देता है$u\,du\wedge dv=dt\wedge dt'\,$. यह अनुमति देता है u स्पष्ट रूप से मूल्यांकन करने के लिए अभिन्न:${\int <!--\; \int \; -->}_{u,v}u{e}^{-<!--\; -\; -->u(k^2+m^2+}$