संतुलन (ज्यामिति)

समता के लिए प्रतीक

यूक्लिडियन ज्यामिति में, लाइन सेगमेंट#डायरेक्टेड लाइन सेगमेंट के बीच इक्विपोलेंस एक द्विआधारी संबंध है। बिंदु 'ए' से बिंदु 'बी' तक एक रेखा खंड एबी की दिशा रेखा खंड बीए के विपरीत है। दो समानांतर (ज्यामिति) रेखाखंड समतुल्य होते हैं जब उनकी लंबाई और दिशा समान होती है।

समांतरोग्राम संपत्ति

यदि रेखाखण्ड AB और CD समध्रुवीय हैं, तो AC और BD भी समध्रुवीय हैं

यूक्लिडियन अंतरिक्ष की एक निश्चित विशेषता वैक्टर की समांतर चतुर्भुज संपत्ति है:

यदि दो खंड समान हैं, तो वे समांतर चतुर्भुज के दो पक्ष बनाते हैं:

If a given vector holds between a and b, c and d, then the vector which holds between a and c is the same as that which holds between b and d.

— Bertrand Russell, The Principles of Mathematics, page 432

इतिहास

इक्विपॉलेंट लाइन सेगमेंट की अवधारणा को 1835 में Giusto Bellavitis द्वारा उन्नत किया गया था। इसके बाद वेक्टर शब्द को इक्विपॉलेंट लाइन सेगमेंट के एक वर्ग के लिए अपनाया गया था। विभिन्न लेकिन समान वस्तुओं की तुलना करने के लिए एक संबंध (गणित) के विचार का बेलावाइटिस का उपयोग एक सामान्य गणितीय तकनीक बन गया है, विशेष रूप से तुल्यता संबंध ों के उपयोग में। बेलावाइटिस ने एबी और सीडी खंडों के समरूपता के लिए एक विशेष संकेतन का इस्तेमाल किया:

$AB\bumpeq CD.$

माइकल जे। क्रो द्वारा अनुवादित निम्नलिखित मार्ग, इस अनुमान को दिखाते हैं कि बेलावाइटिस में यूक्लिडियन वेक्टर अवधारणाएं थीं:

जब कोई उनमें रेखाओं को स्थानापन्न करता है, तो अन्य रेखाएँ जो क्रमशः उनके लिए अनुकूल होती हैं, फिर भी वे अंतरिक्ष में स्थित हो सकती हैं। इससे यह समझा जा सकता है कि किसी भी संख्या और किसी भी प्रकार की रेखाओं का योग कैसे किया जा सकता है, और इन पंक्तियों को जिस क्रम में लिया जाता है, वही समविभव-योग प्राप्त होता है...

समकणों में, जैसा कि समीकरणों में होता है, एक रेखा को एक तरफ से दूसरी तरफ स्थानांतरित किया जा सकता है, बशर्ते कि चिन्ह बदल गया हो...

इस प्रकार विपरीत दिशा वाले खंड एक दूसरे के ऋणात्मक हैं: $AB+BA\bumpeq 0.$

द इक्विपॉलेंस $AB\bumpeq n.CD,$ जहां n एक सकारात्मक संख्या के लिए खड़ा है, इंगित करता है कि AB दोनों समानांतर है और सीडी के समान दिशा है, और यह कि उनकी लंबाई में AB = n.CD द्वारा व्यक्त संबंध है।

यूक्लिडियन वैक्टर की भाषा में, A से B तक का खंड एक बाध्य वेक्टर है, जबकि इसके समतुल्य खंडों का वर्ग एक मुक्त वेक्टर है।

एक्सटेंशन

गोले पर ज्यामितीय समतुल्यता का भी उपयोग किया जाता है:

डब्ल्यू. आर. हैमिल्टन|हैमिल्टन की विधि की सराहना करने के लिए, आइए हम पहले यूक्लिडियन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में अनुवाद के एबेलियन समूह के बहुत सरल मामले को याद करें। प्रत्येक अनुवाद अंतरिक्ष में एक सदिश के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य है, केवल दिशा और परिमाण महत्वपूर्ण है, और स्थान अप्रासंगिक है। दो अनुवादों की संरचना सदिश योग के सिर से पूंछ के समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा दी गई है; और व्युत्क्रम मात्राओं को उलटने की दिशा में ले जाना। हैमिल्टन के मोड़ के सिद्धांत में, हमारे पास एबेलियन अनुवाद समूह से गैर-एबेलियन एसयू (2) तक ऐसी तस्वीर का सामान्यीकरण है। अंतरिक्ष में सदिशों के बजाय, हम एक इकाई गोले S पर लंबाई < π के निर्देशित बड़े वृत्त चापों से निपटते हैं² एक यूक्लिडियन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में। इस तरह के दो चापों को समतुल्य माना जाता है यदि एक को इसके बड़े वृत्त के साथ खिसका कर इसे दूसरे के साथ मिलाने के लिए बनाया जा सकता है।

एक गोले के एक बड़े वृत्त पर, दो निर्देशित वृत्ताकार चाप समान होते हैं जब वे दिशा और चाप की लंबाई में सहमत होते हैं। ऐसे चापों का एक तुल्यता वर्ग एक चतुष्कोण छंद से जुड़ा होता है

$\exp(ar)=\cos a+r\sin a,$ जहाँ a चाप की लंबाई है और r लंबवतता द्वारा बड़े वृत्त के तल को निर्धारित करता है।

संदर्भ

• Giusto Bellavitis (1835) "Saggio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle equipollenze)", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244–59.
• Giusto Bellavitis (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze, link from Google Books.

• Charles-Ange Laisant (1874): French translation with additions of Bellavitis (1854) Exposition de la méthode des equipollences, link from Google Books.

• Giusto Bellavitis (1858) Calcolo dei Quaternioni di W.R. Hamilton e sua Relazione col Metodo delle Equipollenze, link from HathiTrust.
• Charles-Ange Laisant (1887) Theorie et Applications des Equipollence, Gauthier-Villars, link from University of Michigan Historical Math Collection.
• Lena L. Severance (1930) The Theory of Equipollences; Method of Analytical Geometry of Sig. Bellavitis, link from HathiTrust.

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बाहरी संबंध

• Axiomatic definition of equipollence