जेडएन मॉडल

$Z_{N}$ मॉडल (क्लॉक मॉडल के रूप में भी जाना जाता है) एक सरलीकृत सांख्यिकीय यांत्रिकी स्पिन मॉडल है। यह आइसिंग मॉडल का सामान्यीकरण है। यद्यपि इसे एक अर्बिट्ररी आरेख पर परिभाषित किया जा सकता है, यह विभिन्न विशेष स्थितियों में केवल एक और दो-आयामी अक्षांशों पर ही एकीकृत है।

परिभाषा

इस प्रकार $Z_{N}$ मॉडल को आरेख पर प्रत्येक नोड $r$ पर एक स्पिन मान निर्दिष्ट करके परिभाषित किया जाता है, जिसमें स्पिन मान $s_{r}=\exp {\frac {2\pi iq}{N}}$ लेते हैं। इसलिए स्पिन एकता की सम्मिश्र रूट के रूप में मूल्य लेते हैं। सामान्यतः, हम $q\in \{0,1,\ldots ,N-1\}$ मॉडल के प्रत्येक नोड को निर्दिष्ट स्पिन को $N$ समदूरस्थ दिशाओं में से किसी एक की ओर संकेत करने के रूप में विचार कर सकते हैं। सामान्य एज बोल्ट्ज़मैन वेट $rr'$ हैं:

w\left(r,r'\right)=\sum _{k=0}^{N-1}x_{k}^{\left(rr'\right)}\left(s_{r}s_{r'}^{*}\right)^{k}

जहां $*$ सम्मिश्र संयुग्मन को दर्शाता है और $x_{k}^{\left(rr'\right)}$ किनारे $rr'$ के साथ अंतःक्रिया बल से संबंधित है। ध्यान दें कि $x_{k}^{\left(rr'\right)}=x_{N-k}^{\left(rr'\right)}$ को अधिकांशतः 1 पर सेट किया जाता है। (वास्तविक मान) बोल्ट्ज़मैन वेट $s_{r}\rightarrow \omega ^{k}s_{r}$ और $s_{r}\rightarrow s_{r}^{*}$ , परिवर्तनों के अनुसार अपरिवर्तनीय होते हैं, जो क्रमशः सार्वभौमिक रोटेशन और प्रतिबिंब के अनुरूप होते हैं।

स्व-द्वैत महत्वपूर्ण समाधान

सामान्य अनिसोट्रोपिक वर्ग जालक पर परिभाषित $Z_{N}$ मॉडल के समाधानों का एक वर्ग है। यदि मॉडल क्रेमर्स-वानियर अर्थ में स्व-द्वैत है और इस प्रकार महत्वपूर्ण है, और जालक ऐसी है कि दो संभावित किनारे अभिविन्यासों के लिए दो संभावित 'वेट' $x_{k}^{1}$ और $x_{k}^{2}$ हैं, तो हम $\alpha$ में निम्नलिखित पैरामीट्रिजेशन प्रस्तुत कर सकते हैं