रैखिक निकाय

प्रणाली सिद्धांत में, रैखिक प्रणाली रैखिक संकारक के उपयोग पर आधारित प्रणाली का गणितीय मॉडल है। रैखिक प्रणालियाँ प्रायः उन विशेषताओं और गुणों को प्रदर्शित करती हैं जो गैर-रेखीय स्थिति की तुलना में बहुत सरल होते हैं। गणितीय संक्षिप्तीकरण या आदर्शीकरण के रूप में, रैखिक प्रणालियों को स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत, सिग्नल प्रोसेसिंग और दूरसंचार में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, वायरलेस संचार प्रणालियों के लिए प्रसार माध्यम को प्रायः रैखिक प्रणालियों द्वारा मॉडल किया जा सकता है।

परिभाषा

नियतात्मक निरंतर-समय SISO सिस्टम के लिए एडिटिविटी गुण को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। सिस्टम एडिटिविटी प्रॉपर्टी को संतुष्ट करता है या अगर और केवल अगर एडिटिव है $y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$ हमेशा के लिए $t$ और सभी इनपुट के लिए $x_{1}(t)$ और $x_{2}(t)$. इसे विस्तृत करने के लिए छवि पर क्लिक करें।

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नियतात्मक निरंतर-समय SISO प्रणाली के लिए एकरूपता गुण को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। प्रणाली एकरूपता संपत्ति को संतुष्ट करती है या यदि और केवल अगर सजातीय है $y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)$ हमेशा के लिए $t$, सभी वास्तविक स्थिरांक के लिए $a$ और सभी इनपुट के लिए $x_{1}(t)$. इसे विस्तृत करने के लिए छवि पर क्लिक करें।

नियतात्मक निरंतर-समय SISO प्रणाली के लिए सुपरपोज़िशन सिद्धांत को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। सिस्टम सुपरपोज़िशन सिद्धांत को संतुष्ट करता है और इस प्रकार रैखिक है यदि और केवल यदि $y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)$ हमेशा के लिए $t$, सभी वास्तविक स्थिरांकों के लिए $a_{1}$ और $a_{2}$ और सभी इनपुट के लिए $x_{1}(t)$ और $x_{2}(t)$. इसे विस्तृत करने के लिए छवि पर क्लिक करें।

सामान्य नियतात्मक प्रणाली को संकारक, H द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो इनपुट, x(t) को आउटपुट, y(t), एक प्रकार के ब्लैक बॉक्स विवरण के रूप में t के फलन के रूप में मैप करता है।

प्रणाली रैखिक होती है यदि और केवल यदि यह अध्यारोपण सिद्धांत, या समतुल्यता और समरूपता गुणों दोनों को बिना किसी प्रतिबंध के संतुष्ट करती है (अर्थात, सभी इनपुट के लिए, सभी स्केलिंग स्थिरांक और सभी समय के लिए)।

अध्यारोपण सिद्धांत का अर्थ है कि प्रणाली में इनपुट का रैखिक संयोजन अलग-अलग इनपुट के अनुरूप अलग-अलग शून्य-अवस्था आउटपुट (अर्थात, प्रारंभिक स्थितियों को शून्य पर सेट करने वाले आउटपुट) का एक रैखिक संयोजन उत्पन्न करता है।

ऐसी प्रणाली में जो समरूपता गुण को संतुष्ट करती है, इनपुट को स्केल करने से सदैव एक ही कारक द्वारा शून्य-अवस्था प्रतिक्रिया को स्केल किया जाता है। एक ऐसी प्रणाली में जो योज्यता गुण को संतुष्ट करती है, दो इनपुट जोड़ने से सदैव अलग-अलग इनपुट के कारण संबंधित दो शून्य-अवस्था प्रतिक्रियाओं को जोड़ने में परिणाम प्राप्त होता हैं।

गणितीय रूप से, सतत समय प्रणाली के लिए, दो यादृच्छिक इनपुट दिए गए हैं

$${\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}$$

साथ ही उनके संबंधित शून्य-अवस्था आउटपुट

$${\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}$$

तो रैखिक प्रणाली को संतुष्ट करना होगा

$$\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}$$

किसी भी अदिश मानों α और β के लिए, किसी भी इनपुट सिग्नल x₁(t) और x₂(t) के लिए, और सभी समय t के लिए।

प्रणाली को तब समीकरण H(x(t)) = y(t) द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां y(t) समय के कुछ यादृच्छिक फलन है, और x(t) प्रणाली अवस्था है। y(t) और H, को देखते हुए, प्रणाली को x(t) के लिए हल किया जा सकता है।

जटिल इनपुट के अधीन परिणामी प्रणाली के व्यवहार को सरल इनपुट की प्रतिक्रियाओं के योग के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अरैखिक प्रणालियों में, ऐसा कोई संबंध नहीं होता है। यह गणितीय गुण कई अरैखिक प्रणालियों की तुलना में मॉडलिंग समीकरणों के समाधान को सरल बनाता है। समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के लिए यह आवेग प्रतिक्रिया या आवृत्ति प्रतिक्रिया विधियों (एलटीआई (LTI) प्रणाली सिद्धांत देखें) का आधार है, जो इकाई आवेगों या आवृत्ति घटकों के संदर्भ में एक सामान्य इनपुट फलन x(t) का वर्णन करता है।

रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के विशिष्ट अवकल समीकरणों को सतत स्थिति में लाप्लास परिवर्तन और असतत स्थिति में जेड (Z)-रूपांतरण (विशेषकर कंप्यूटर कार्यान्वयन में) का उपयोग करके विश्लेषण के लिए अच्छी तरह से अनुकूलित किया जाता है।

एक अन्य परिप्रेक्ष्य यह है कि रैखिक प्रणालियों के समाधान में फलनों की प्रणाली सम्मिलित होती है जो ज्यामितीय अर्थ में वेक्टर की तरह कार्य करती है।

रैखिक मॉडलों का सामान्य उपयोग रैखिकरण द्वारा अरैखिक प्रणाली का वर्णन करना है। यह प्रायः गणितीय सुविधा के लिए किया जाता है।

रैखिक प्रणाली की पूर्व परिभाषा एसआईएसओ (SISO) (एकल-इनपुट एकल-आउटपुट) प्रणालियों पर लागू होती है। एमआईएमओ (MIMO) (एकाधिक-इनपुट एकाधिक-आउटपुट) प्रणाली के लिए, इनपुट और आउटपुट सिग्नल ($x_{1}(t)$, $x_{2}(t)$, $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$) के स्थान पर इनपुट और आउटपुट सिग्नल वेक्टर (${}_{}$