थीटा निर्वात

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, थीटा निर्वात गैर-एबेलियन यांग-मिल्स सिद्धांतों की अर्ध-मौलिक निर्वात स्थिति है जो निर्वात कोण θ द्वारा निर्दिष्ट होती है जो तब उत्पन्न होती है जब स्थिति को टोपोलॉजिकल रूप से अलग-अलग निर्वात स्थिति के अनंत सेट के सुपरपोजिशन के रूप में लिखा जाता है। निर्वात के गतिशील प्रभावों को θ-टर्म की उपस्थिति के माध्यम से लैग्रेंजियन औपचारिकता में अधिकृत किया जाता है, जो क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में शसक्त सीपी समस्या के रूप में ज्ञात फाइन ट्यूनिंग समस्या की ओर ले जाता है। इसकी खोज 1976 में कर्टिस कैलन, रोजर डैशेन और डेविड ग्रॉस द्वारा की गई थी, और स्वतंत्र रूप से रोमन जैकीव और क्लाउडियो रेब्बी द्वारा।

यांग-मिल्स निर्वात

टोपोलॉजिकल वेकुआ

गैर-एबेलियन यांग-मिल्स सिद्धांतों की अर्ध-मौलिक निर्वात संरचना की जांच अधिकांशत: यूक्लिडियन स्पेसटाइम में कुछ निश्चित गेज जैसे टेम्पोरल गेज $A_{0}=0$ में की जाती है। इस सिद्धांत के मौलिक जमीनी स्थिति में एक लुप्त हो रही क्षेत्र शक्ति टेंसर होती है जो शुद्ध गेज से मेल खाती है कॉन्फ़िगरेशन $A_{i}=i\Omega \nabla _{i}\Omega ^{-1}$, जहां स्पेसटाइम में प्रत्येक बिंदु पर $\Omega (x)$ गैर-एबेलियन गेज समूह $G$ से संबंधित कुछ गेज परिवर्तन है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि कार्रवाई सीमित है, $\Omega (x)$ कुछ निश्चित मूल्य $\Omega _{\infty }$ तक पहुंचता है $|{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty$ के रूप में। चूंकि स्थानिक अनंत पर सभी बिंदु अब एक एकल नए बिंदु के रूप में व्यवहार करते हैं, इसलिए स्थानिक मैनिफोल्ड $\mathbb {R} ^{3}$ 3-गोले $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$ के रूप में व्यवहार करता है जिससे गेज क्षेत्र के लिए प्रत्येक शुद्ध गेज विकल्प को मैपिंग द्वारा वर्णित किया जा सके $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$ है

जब प्रत्येक ग्राउंड स्थिति कॉन्फ़िगरेशन को सुचारू गेज परिवर्तन के माध्यम से हर दूसरे ग्राउंड स्थिति कॉन्फ़िगरेशन में सरलता से परिवर्तित किया जा सकता है तो सिद्धांत में एक एकल निर्वात स्थिति होता है, किन्तु यदि टोपोलॉजिकल रूप से अलग कॉन्फ़िगरेशन होते हैं तो इसमें एकाधिक रिक्तिका होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि दो अलग-अलग कॉन्फ़िगरेशन हैं जो सुचारू रूप से जुड़े नहीं हैं, तो एक को दूसरे में बदलने के लिए गैर-लुप्त क्षेत्र शक्ति टेंसर के साथ कॉन्फ़िगरेशन से निकलना होगा, जिसमें गैर-शून्य ऊर्जा होगी। इसका अर्थ यह है कि दोनों रिक्तिकाओं के मध्य एक ऊर्जा अवरोध है, जो उन्हें अलग बनाता है।

यह प्रश्न कि क्या दो गेज विन्यासों को एक-दूसरे में सरलता से विकृत किया जा सकता है, मैपिंग $\Omega (x):S^{3}\rightarrow G$ के होमोटॉपी समूह द्वारा औपचारिक रूप से वर्णित किया गया है। उदाहरण के लिए, गेज समूह $G={\text{SU}}(2)$ में $S^{3}$ का एक अंतर्निहित मैनिफोल्ड है जिससे मैपिंग $\Omega (x):S^{3}\rightarrow S^{3}$ हो, जिसमें $\pi _{3}({\text{SU}}(2))=\mathbb {Z}$ का एक होमोटॉपी समूह हो। इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक मैपिंग के साथ कुछ पूर्णांक जुड़ा होता है, जिसे उसका वाइंडिंग नंबर कहा जाता है, जिसे इसके पोंट्रीगिन इंडेक्स के रूप में भी जाना जाता है, यह समान्य रूप से बताता है कि स्थानिक $S^{3}$ को समूह $S^{3}$ पर कितनी बार मैप किया गया है। फ़्लिप ओरिएंटेशन के कारण होने वाली ऋणात्मक वाइंडिंग। केवल समान वाइंडिंग संख्या वाले मैपिंग को एक-दूसरे में सरलता से विकृत किया जा सकता है और कहा जाता है कि वे समान होमोटॉपी वर्ग से संबंधित हैं। गेज परिवर्तन जो वाइंडिंग संख्या को संरक्षित करते हैं उन्हें छोटे गेज परिवर्तन कहा जाता है जबकि जो परिवर्तन वाइंडिंग संख्या को बदलते हैं उन्हें बड़े गेज परिवर्तन कहा जाता है।

अन्य गैर-एबेलियन गेज समूह $G$ के लिए उनके ${\text{SU}}(2)$ उपसमूहों में से एक पर ध्यान केंद्रित करना पर्याप्त है, यह सुनिश्चित करते हुए कि $\pi _{3}(G)=\mathbb {Z}$ ऐसा इसलिए है क्योंकि $G$ पर $S^{3}$ की प्रत्येक मैपिंग को निरंतर G के ${\text{SU}}(2)$ उपसमूह पर मैपिंग में विकृत किया जा सकता है, जिसका परिणाम बॉट्स प्रमेय से होता है। यह एबेलियन गेज समूहों के विपरीत है जहां प्रत्येक मैपिंग $S^{3}\rightarrow {\text{U}}(1)$ को स्थिर मानचित्र में विकृत किया जा सकता है और इसलिए एक एकल कनेक्टेड निर्वात स्थिति होती है। गेज फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन $A^{i}$ के लिए, कोई सदैव इसकी वाइंडिंग संख्या की गणना वॉल्यूम इंटीग्रल से कर सकता है जो टेम्पोरल गेज में दी गई है

$n={\frac {ig^{3}}{24\pi ^{2}}}\int d^{3}r\ {\text{Tr}}(\epsilon _{ijk}A^{i}A^{j}A^{k}),$

जहाँ g युग्मन स्थिरांक है. अलग-अलग वाइंडिंग नंबर $|n\rangle$ के साथ निर्वात स्थित के विभिन्न वर्गों को टोपोलॉजिकल वेकुआ कहा जाता है।

थीटा वेकुआ

टोपोलॉजिकल वेकुआ यांग-मिल्स सिद्धांतों के उम्मीदवार निर्वात स्थिति नहीं हैं क्योंकि वे बड़े गेज परिवर्तनों के स्वदेशी नहीं हैं और इसलिए गेज अपरिवर्तनीय नहीं हैं। इसके अतिरिक्त स्थिति पर कार्य करना $|n\rangle$ एक बड़े गेज परिवर्तन के साथ $\Omega _{m}$ घुमावदार संख्या $m$ के साथ इसे एक अलग टोपोलॉजिकल निर्वात $\Omega _{m}|n\rangle =|n+m\rangle$ पर मैप करेगा। वास्तविक निर्वात को छोटे और बड़े दोनों गेज परिवर्तनों का एक आदर्श होना चाहिए। इसी प्रकार बलोच के प्रमेय के अनुसार ईजेनस्टेट्स आवधिक क्षमता में जो रूप लेते हैं, उसी प्रकार निर्वात अवस्था टोपोलॉजिकल रिक्तिका का एक सुसंगत योग है

$|\theta \rangle =\sum _{n}e^{in\theta }|n\rangle .$

कोणीय चर $\theta \in [0,2\pi )$ द्वारा अनुक्रमित अवस्थाओं के इस सेट को θ-वेकुआ के रूप में जाना जाता है। अब से वे दोनों प्रकार के गेज परिवर्तनों के मूलस्रोत हैं $$