हंटिंग दोलन

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Hunting oscillation on railway wheelsets

हंटिंग दोलन यांत्रिक संतुलन के बारे में स्व-दोलन है, जो सामान्यतः अवांछित है। यह अभिव्यक्ति 19वीं शताब्दी में प्रयोग में आई और यह बताती है कि प्रणाली कैसे संतुलन की खोज करती है। इस अभिव्यक्ति का उपयोग इलेक्ट्रॉनिक्स, विमानन, जीव विज्ञान और रेलवे इंजीनियरिंग जैसे विविध क्षेत्रों में घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

रेलवे व्हीलसेट

Main article: व्हीलसेट (रेल परिवहन)

मौलिक हंटिंग दोलन एक रेलवे वाहन की एक लहराती गति है (जिसे अधिकांशतः ट्रक शिकार या बोगी शिकार कहा जाता है) जो शंकु क्रिया के कारण होता है जिस पर आसंजन रेलवे की दिशात्मक स्थिरता निर्भर करती है। यह आसंजन बलों और जड़त्व बलों की परस्पर क्रिया से उत्पन्न होता है। इस प्रकार कम गति पर, आसंजन प्रभावी हो जाता है, किंतु जैसे-जैसे गति बढ़ती है, आसंजन बल और जड़त्व बल परिमाण में तुलनीय हो जाते हैं और दोलन महत्वपूर्ण गति से प्रारंभ होता है। इस गति से ऊपर, गति हिंसक हो सकती है, जो ट्रैक और पहियों को हानि पहुंचा सकती है और संभावित रूप से पटरी से उतरने का कारण बन सकती है। समस्या विभेदक (यांत्रिक उपकरण) वाले प्रणाली पर उत्पन्न नहीं होती है क्योंकि क्रिया व्हीलसेट (रेल परिवहन) के दोनों पहियों पर एक ही कोणीय दर पर घूमने पर निर्भर करती है, चूँकि भिन्नताएँ दुर्लभ होते हैं, और पारंपरिक ट्रेनों के पहिए जोड़े में एक्सल से जुड़े होते हैं। टैल्गो 350 की तरह, इन ट्रेनों में कोई अंतर नहीं है, फिर भी वे अधिकतर हंटिंग दोलन से प्रभावित नहीं होते हैं, क्योंकि उनके अधिकांश पहिये एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से घूमते हैं। चूँकि, पावर कार के पहिए हंटिंग दोलन से प्रभावित हो सकते हैं, क्योंकि पावर कार के पहिए पारंपरिक बोगियों की तरह जोड़े में एक्सल से जुड़े होते हैं। कम शंक्वाकार पहिए और स्वतंत्र पहियों से सुसज्जित बोगियां जो एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से घूमती हैं और जोड़े में धुरी पर स्थिर नहीं होती हैं, ट्रेन की बोगियों के लिए उपयुक्त अंतर से सस्ती होती हैं।

यह समस्या पहली बार 19वीं सदी के अंत में देखी गई थी, जब ट्रेन की गति इतनी तीव्र हो गई कि इसका सामना किया जा सकता है। 1930 के दशक में इसका प्रतिकार करने के लिए गंभीर प्रयास प्रारंभ हुए, जिससे लम्बे ट्रकों और साइड-डैम्पिंग ब्लॉमबर्ग ट्रक का उदय हुआ था। जापानी शिंकनसेन के विकास में, ट्रक डिज़ाइन की गति को 225 km/h (140 mph) से ऊपर बढ़ाने के लिए कम-शंक्वाकार पहियों और अन्य डिज़ाइन परिवर्तनों का उपयोग किया गया था। यूरोप और जापान में अनुसंधान और विकास प्रयासों के आधार पर पहिया और ट्रक डिजाइन में प्रगति ने स्टील व्हील प्रणाली की गति को मूल शिंकानसेन द्वारा प्राप्त गति से कहीं अधिक बढ़ा दिया है, जबकि पिछड़ी संगतता का लाभ ऐसी तकनीक को होवरट्रेन और मैग्लेव प्रणाली जैसे विकल्पों पर प्रभावी रखता है। स्टील-पहिए वाली ट्रेनों का स्पीड रिकॉर्ड फ्रांसीसी टीजीवी के पास 574.9 km/h (357 mph) है।

गतिज विश्लेषण

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रेलवे व्हील कोनिंग क्रिया की गतिकी

जबकि गुणात्मक विवरण घटना की कुछ समझ प्रदान करता है, गहरी समझ के लिए अनिवार्य रूप से वाहन गतिशीलता (यांत्रिकी) के गणितीय विश्लेषण की आवश्यकता होती है। फिर भी, परिणाम केवल अनुमानित ही हो सकते हैं।

एक गतिज विवरण गति की ज्यामिति से संबंधित है, इसे उत्पन्न करने वाले बल के संदर्भ के बिना, इसलिए विश्लेषण सीधे ट्रैक पर चलने वाले व्हील सेट की ज्यामिति के विवरण के साथ प्रारंभ होता है। चूंकि न्यूटन का दूसरा नियम बलों को पिंडों के त्वरण से संबंधित करता है, इसलिए घटकों के त्वरण की गणना करके कार्य करने वाली बलों को गतिकी से प्राप्त किया जा सकता है। चूँकि, यदि ये बल गतिक विवरण को बदलते हैं (जैसा कि वे इस स्थितियों में करते हैं) तो परिणाम लगभग सही हो सकते हैं।

धारणाएं और गैर-गणितीय विवरण

यह गतिज वर्णन कई सरलीकृत धारणाएँ बनाता है क्योंकि यह बलों की उपेक्षा करता है। एक के लिए, यह माना जाता है कि रोलिंग प्रतिरोध शून्य है। व्हीलसेट (रेलगाड़ी या बोगी से जुड़ा नहीं) को सीधे और समतल ट्रैक पर आगे की ओर धक्का दिया जाता है। व्हीलसेट किनारे पर चलना प्रारंभ कर देता है और कभी भी धीमा नहीं होता है क्योंकि इसमें कोई बल नहीं होता है (व्हीलसेट पर नीचे की ओर बल को छोड़कर जिससे यह ट्रैक पर चिपक जाए और फिसले नहीं)। यदि प्रारंभ में व्हीलसेट रेल ट्रैक पर केंद्रित है तो प्रत्येक व्हील का प्रभावी व्यास समान होता है और व्हीलसेट सदैव के लिए सम्पूर्ण रूप में सीधी रेखा में ट्रैक पर लुढ़कता है। किंतु यदि व्हीलसेट थोड़ा-सा ऑफ-सेंटर है जिससे प्रभावी व्यास (या त्रिज्या) अलग-अलग हों, तो व्हीलसेट त्रिज्या R के वक्र में चलना प्रारंभ कर देता है (इन पहियों की त्रिज्या आदि के आधार पर; बाद में प्राप्त किया जाएगा)। समस्या व्हीलसेट के प्रक्षेप पथ को खोजने के लिए गतिज तर्क का उपयोग करने की है, या अधिक स्पष्ट रूप से, ट्रैक के केंद्र में सड़क पर लंबवत रूप से प्रक्षेपित व्हीलसेट के केंद्र के प्रक्षेप पथ को खोजने के लिए हैं। यह पृथ्वी की सतह के समतल पर प्रक्षेपवक्र है और इसे x-y ग्राफिकल प्लॉट पर आलेखित किया गया है जहां x रेलमार्ग के साथ की दूरी है और y ट्रैकिंग त्रुटि है, ट्रैक के केंद्र से नीचे (दो रेलों के बीच में) चलने वाली रेलवे की सीधी रेखा से व्हीलसेट के केंद्र का विचलन है।

यह दर्शाने के लिए कि व्हीलसेट प्रक्षेपवक्र घुमावदार पथ का अनुसरण करता है, कोई व्यक्ति सपाट टेबल टॉप पर कील या पेंच रख सकता है और उसे धक्का दे सकता है। यह वृत्ताकार वक्र में घूमेगा क्योंकि कील या पेंच अत्यधिक अलग-अलग व्यास वाले पहियों वाले व्हीलसेट की तरह है। हेड बड़े व्यास के पहिये के समान है और नुकीला सिरा छोटे व्यास के पहिये के समान है। जबकि कील या पेंच पूर्ण चक्र (और अधिक) में घूमेगा, रेलरोड व्हीलसेट अलग तरह से व्यवहार करता है क्योंकि जैसे ही यह वक्र में मुड़ना प्रारंभ करता है, प्रभावी व्यास इस तरह से बदल जाते हैं कि पथ की वक्रता कम हो जाती है। ध्यान दें कि त्रिज्या और वक्रता व्हीलसेट के प्रक्षेप पथ की वक्रता को संदर्भित करती है, न कि रेलवे की वक्रता को क्योंकि यह सम्पूर्ण रूप में सीधा ट्रैक है। जैसे-जैसे पहिया आगे बढ़ता है, वक्रता कम हो जाती है जब तक कि पहिये उस बिंदु तक नहीं पहुंच जाते जहां उनके प्रभावी व्यास बराबर होते हैं और पथ अब घुमावदार नहीं होता है। किंतु प्रक्षेपवक्र में इस बिंदु पर ढलान है (यह सीधी रेखा है जो ट्रैक की केंद्र रेखा को तिरछे पार करती है) जिससे यह ट्रैक की केंद्र रेखा से आगे निकल जाए और प्रभावी व्यास उलट जाता है (पहले छोटा व्यास वाला पहिया बड़ा व्यास और इसके विपरीत बन जाता है)। इसका परिणाम यह होता है कि पहिया विपरीत दिशा में वक्र में घूमने लगता है। यह फिर से केंद्र रेखा से आगे निकल जाता है और यह घटना पहिये के अगल-बगल से दोलन के साथ अनिश्चित काल तक जारी रहती है। ध्यान दें कि व्हील फ्लैंज कभी भी रेल से संपर्क नहीं बनाता है। इस मॉडल में, रेल को सदैव रेल हेड पर ही लाइन के साथ व्हील ट्रेड से संपर्क करने के लिए माना जाता है, जो मानता है कि रेल चाकू की धार वाली हैं और केवल लाइन (शून्य चौड़ाई) के साथ व्हील ट्रेड के साथ संपर्क बनाती हैं।

गणितीय विश्लेषण

पहिए के टायर के शंक्वाकार आकार के कारण ट्रेन पटरी पर टिकी रहती है। यदि व्हीलसेट को y (ट्रैकिंग त्रुटि) द्वारा एक तरफ से कुछ मात्रा में विस्थापित किया जाता है, तो एक तरफ रेल के संपर्क में चलने की त्रिज्या कम हो जाती है, जबकि दूसरी तरफ बढ़ जाती है। कोणीय वेग दोनों पहियों के लिए समान है (वे कठोरता धुरी के माध्यम से जुड़े हुए हैं), इसलिए बड़े व्यास वाले चलने की गति तेज हो जाती है, जबकि छोटे व्यास वाले की गति धीमी हो जाती है। व्हील सेट रेल पर पहियों के साथ संपर्क के बिंदुओं और व्हील सेट की धुरी से निकलने वाले शंकु के जनरेटर के चौराहे द्वारा परिभाषित वक्रता के केंद्र के चारों ओर घूमता है। समरूप त्रिभुज को प्रयुक्त करने पर, हमें टर्न त्रिज्या प्राप्त होती है:

File:NewTurnRadius.png

घूमने की त्रिज्या की गणना

${\frac {1}{R}}={\frac {2ky}{rd}}$

जहाँ d ट्रैक रेल गेज है, सीधे चलने पर पहिए की त्रिज्या r और k ट्रेड मशीन टेपर है (जो ट्रैक के लंबवत क्षैतिज दिशा में ट्रेड का ढलान है)।

सीधे ट्रैक के सापेक्ष पहिये का पथ फ़ंक्शन y(x) द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ x ट्रैक पर प्रगति है। इसे कभी-कभी ट्रैकिंग त्रुटि भी कहा जाता है। परंतु गति की दिशा कमोबेश रेल के समानांतर (ज्यामिति) बनी रहे, पथ की वक्रता लगभग ट्रैक के साथ दूरी के संबंध में y के दूसरे व्युत्पन्न से संबंधित हो सकती है

$\left|{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\right|\approx {\frac {1}{R}}$

यह इस प्रकार है कि ट्रैक के साथ प्रक्षेपवक्र समीकरण द्वारा नियंत्रित होता है:

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y$

यह तरंग दैर्ध्य वाली सरल हार्मोनिक गति है:

$\lambda =2\pi {\sqrt {\frac {rd}{2k}}}$ known as Klingel's formula (derived in 1883)

इस गतिक विश्लेषण से पता चलता है कि रेलगाड़ियाँ हर समय एक ओर से दूसरी ओर घूमती रहती हैं। वास्तव में, यह दोलन महत्वपूर्ण गति से नीचे डंपिंग अनुपात है और सवारी तदनुसार अधिक आरामदायक है। गतिज परिणाम गति उत्पन्न करने वाली शक्तियों की उपेक्षा करता है। इनका विश्लेषण क्रीप (गैर-रैखिक) की अवधारणा का उपयोग करके किया जा सकता है, किंतु इन्हें आसानी से मापना कुछ सीमा तक जटिल है, क्योंकि वे संपर्क के क्षेत्रों में पहिया और रेल के हर्ट्ज़ियन संपर्क तनाव से उत्पन्न होते हैं। ये घर्षण संपर्क यांत्रिकी के विषय हैं; हंटिंग गति विश्लेषण में इन प्रभावों को सम्मिलित करने वाली प्रारंभिक प्रस्तुति कार्टर द्वारा प्रस्तुत की गई थी। ऐतिहासिक अवलोकन के लिए नॉथे देखें।

यदि गति अधिक सीमा तक रेल के समानांतर है, तो व्हील सेट $\left(\theta \right)$ का कोणीय विस्थापन इस प्रकार दिया जाता है:

$\theta ={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$

इस तरह:

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} x}}&={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} x^{2}}}&=-\left({\frac {2k}{rd}}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta \end{aligned}}$

कोणीय विक्षेपण भी सरल हार्मोनिक गति का अनुसरण करता है, जो चक्र के एक चौथाई तक अगल-बगल की गति से पीछे रहता है। कई प्रणालियों में, जिनमें दो अलग-अलग अवस्थाओं (इस स्थितियों में एक्सल यॉ विक्षेपण और पार्श्व विस्थापन) से युक्त हार्मोनिक गति की विशेषता होती है, दो गतियों के बीच का चौथाई चक्र अंतराल प्रणाली को आगे की गति से ऊर्जा निकालने की क्षमता प्रदान करता है। यह प्रभाव विमान के पंखों के कंपन और सड़क वाहनों की गति के डगमगाने के साथ-साथ रेलवे वाहनों के हंटिंग में भी देखा जाता है। ऊपर प्राप्त गतिक समाधान क्रांतिक गति पर गति का वर्णन करता है।

व्यवहार में, क्रांतिक गति से नीचे, दो गतियों के बीच अंतराल एक चौथाई चक्र से कम होता है जिससे गति कम हो जाती है, किंतु, महत्वपूर्ण गति से ऊपर, अंतराल एक चौथाई चक्र से अधिक होता है जिससे गति बढ़ जाती है।

जड़त्वीय बलों का अनुमान लगाने के लिए, दूरी व्युत्पन्न को समय व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त करना आवश्यक है। यह वाहन की गति U का उपयोग करके किया जाता है, जिसे स्थिर माना जाता है:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}=U{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}$

यॉ में धुरी का कोणीय त्वरण है:

$\frac{{\mathrm{d}}^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{d}<!--\; \; -->t^2}=-<!--\; -\; -->U^2(\frac{2}{}$