रुकने का समय

रुकने के समय का उदाहरण: एक प्रकार कि गति का हिटिंग समय। प्रक्रिया 0 से शुरू होती है और 1 पर पहुंचते ही रुक जाती है।

संभाव्यता सिद्धांत में, विशेष रूप से स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में, एक रुकने का समय (मार्कोव समय, मार्कोव क्षण, वैकल्पिक रुकने का समय या वैकल्पिक समय)^[1]) एक विशिष्ट प्रकार का "यादृच्छिक समय" है: एक यादृच्छिक चर जिसका मूल्य उस समय के रूप में व्याख्या किया जाता है जिस पर एक दी गई स्टोकेस्टिक प्रक्रिया रुचि का एक निश्चित व्यवहार प्रदर्शित करती है। रुकने के समय को अक्सर एक रुकने के नियम द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो वर्तमान स्थिति और पिछली घटनाओं के आधार पर किसी प्रक्रिया को जारी रखने या रोकने का निर्णय लेने के लिए एक तंत्र है, और जो लगभग हमेशा किसी सीमित समय पर रुकने का निर्णय लेगा।

निर्णय सिद्धांत में रुकने का समय होता है, और वैकल्पिक रोक प्रमेय इस संदर्भ में एक महत्वपूर्ण परिणाम है। जैसा कि चुंग ने अपनी पुस्तक (1982) में कहा है, "समय की सातत्यता को वश में करने" के लिए रुकने के समय को गणितीय प्रमाणों में भी अक्सर लागू किया जाता है।

परिभाषा

असतत समय

होने देना $\tau$ एक यादृच्छिक चर हो, जिसे फ़िल्टर किए गए संभाव्यता स्थान पर परिभाषित किया गया है $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} },P)$ मूल्यों के साथ $\mathbb {N} \cup \{+\infty \}$ . तब $\tau$ रुकने का समय कहा जाता है (फ़िल्टरेशन (संभावना सिद्धांत) के संबंध में) $\mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ), यदि निम्नलिखित शर्त लागू होती है:

\{\tau =n\}\in {\mathcal {F}}_{n}

सभी के लिए

n

सहज रूप से, इस स्थिति का अर्थ है कि समय पर रुकना है या नहीं इसका निर्णय $n$ केवल समय पर मौजूद जानकारी पर आधारित होना चाहिए $n$ , भविष्य की किसी सूचना पर नहीं।

सामान्य मामला

होने देना $\tau$ एक यादृच्छिक चर हो, जिसे फ़िल्टर किए गए संभाव्यता स्थान पर परिभाषित किया गया है $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)$ मूल्यों के साथ $T$ . अधिकतर परिस्थितियों में, $T=[0,+\infty )$ . तब $\tau$ रुकने का समय कहा जाता है (फ़िल्टरेशन (संभावना सिद्धांत) के संबंध में) $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ ), यदि निम्नलिखित शर्त लागू होती है:

\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}

सभी के लिए

t\in T

अनुकूलित प्रक्रिया के रूप में

होने देना $\tau$ एक यादृच्छिक चर हो, जिसे फ़िल्टर किए गए संभाव्यता स्थान पर परिभाषित किया गया है $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)$ मूल्यों के साथ $T$ . तब $\tau$ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का रुकने का समय कहा जाता है $X=(X_{t})_{t\in T}$ , द्वारा परिभाषित

X_{t}:={\begin{cases}1&{\text{ if }}t<\tau \\0&{\text{ if }}t\geq \tau \end{cases}}

निस्पंदन के लिए अनुकूलित प्रक्रिया है $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$

कुछ लेखक ऐसे मामलों को स्पष्ट रूप से बाहर कर देते हैं $\tau$ हो सकता है $+\infty$ , जबकि अन्य लेखक अनुमति देते हैं $\tau$ के समापन में कोई भी मूल्य लेने के लिए $T$ .

उदाहरण

यादृच्छिक समय के कुछ उदाहरणों को स्पष्ट करने के लिए जो नियमों को रोक रहे हैं और कुछ जो नहीं हैं, एक जुआरी को एक सामान्य घरेलू बढ़त के साथ रूलेट खेलने पर विचार करें, जो $100 से शुरू होता है और प्रत्येक खेल में लाल रंग पर $1 का दांव लगाता है:

ठीक पाँच गेम खेलना रुकने के समय τ = 5 से मेल खाता है, और यह रुकने का नियम है।
जब तक उनके पास पैसे ख़त्म न हो जाएं या 500 गेम न खेल लें, तब तक खेलना बंद करने का नियम है।
जब तक वे अधिकतम राशि आगे न पहुंच जाएं तब तक खेलना कोई रुकने का नियम नहीं है और न ही रुकने का समय प्रदान करता है, क्योंकि इसके लिए भविष्य के साथ-साथ वर्तमान और अतीत के बारे में जानकारी की आवश्यकता होती है।
जब तक वे अपना पैसा दोगुना नहीं कर लेते (यदि आवश्यक हो तो उधार लेना) खेलना कोई बंद करने वाला नियम नहीं है, क्योंकि इस बात की सकारात्मक संभावना है कि वे कभी भी अपना पैसा दोगुना नहीं करेंगे।^{[clarification needed (see talk)]}
जब तक उनका पैसा दोगुना न हो जाए या पैसा खत्म न हो जाए, तब तक खेलना बंद करने का नियम है, भले ही उनके द्वारा खेले जाने वाले गेम की संख्या की संभावित रूप से कोई सीमा नहीं है, क्योंकि उनके एक सीमित समय में बंद होने की संभावना 1 है।

रुकने के समय की अधिक सामान्य परिभाषा को स्पष्ट करने के लिए, ब्राउनियन गति पर विचार करें, जो एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है $(B_{t})_{t\geq 0}$ , जहां प्रत्येक $B_{t}$ संभाव्यता स्थान पर परिभाषित एक यादृच्छिक चर है $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ . हम इस संभाव्यता स्थान पर एक निस्पंदन को लेट करके परिभाषित करते हैं ${\mathcal {F}}_{t}$ प्रपत्र के सभी सेटों द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित हो $(B_{s})^{-1}(A)$ कहाँ $0\leq s\leq t$ और $A\subseteq \mathbb {R}$ एक बोरेल सेट है. सहज रूप से, एक घटना E में है ${\mathcal {F}}_{t}$ यदि और केवल यदि हम केवल समय 0 से समय t तक ब्राउनियन गति को देखकर यह निर्धारित कर सकते हैं कि E सही है या गलत।