वॉल्श फलन

File:Natural and sequency ordered Walsh 16.svg

प्राकृतिक क्रमबद्ध और अनुक्रम क्रम 16 का हैडामर्ड मैट्रिक्स।
विशेष रूप से पूर्व को सामान्यतः वॉल्श मैट्रिक्स कहा जाता है।
दोनों में पंक्तियों (और स्तंभों) के रूप में क्रम 16 के 16 वॉल्श फ़ंक्शन सम्मिलित हैं।
मैट्रिक्स में, प्रति पंक्ति चिह्न परिवर्तन की संख्या है।

गणित में, विशेष रूप से हार्मोनिक विश्लेषण में, वॉल्श फ़ंक्शंस का पूर्ण ऑर्थोगोनल प्रणाली बनाते हैं जिसका उपयोग किसी भी असतत फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है- जैसे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस का उपयोग फूरियर विश्लेषण में किसी भी निरंतर फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार उन्हें इकाई अंतराल पर त्रिकोणमितीय कार्यों की निरंतर, एनालॉग प्रणाली के असतत, डिजिटल समकक्ष के रूप में देखा जा सकता है। किंतु साइन और कोसाइन फ़ंक्शंस के विपरीत, जो निरंतर फ़ंक्शन हैं, वॉल्श फ़ंक्शंस भागों में स्थिर होते हैं। वे डायडिक परिमेय द्वारा परिभाषित उप-अंतराल पर केवल -1 और +1 मान लेते हैं।

वॉल्श कार्यों की प्रणाली को वॉल्श प्रणाली के रूप में जाना जाता है। यह ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस की रेडेमाकर प्रणाली का विस्तार है।

वॉल्श फ़ंक्शंस, वॉल्श प्रणाली, वॉल्श श्रृंखला, और तीव्र वॉल्श-हैडमार्ड परिवर्तन सभी का नाम अमेरिकी गणितज्ञ जोसेफ एल. वॉल्श के नाम पर रखा गया है। डिजिटल सिग्नलों का विश्लेषण करते समय वे भौतिकी और इंजीनियरिंग में विभिन्न अनुप्रयोग पाते हैं।

ऐतिहासिक रूप से, वॉल्श फ़ंक्शंस के विभिन्न अंकों का उपयोग किया गया है; उनमें से कोई भी दूसरे से विशेष रूप से श्रेष्ठ नहीं है। यह लेख वॉल्श-पेली अंकन का उपयोग करता है।

परिभाषा

हम वॉल्श फ़ंक्शंस के अनुक्रम $W_{k}:[0,1]\rightarrow \{-1,1\}$ को $k\in \mathbb {N}$ से परिभाषित करते हैं, जो निम्नलिखित है:

मान लीजिये, किसी भी प्राकृत संख्या k और वास्तविक संख्या के लिए $x\in [0,1]$ के लिए है:

$k_{j}$ से प्रारंभ करते हुए, k के बाइनरी प्रतिनिधित्व में jth बिट बनें, $k_{0}$ सबसे कम महत्वपूर्ण बिट के रूप में है।

$x_{j}$ के भिन्नात्मक बाइनरी प्रतिनिधित्व में jth बिट है $x$, से प्रारंभ $x_{1}$ सबसे महत्वपूर्ण भिन्नात्मक बिट के रूप में है।

फिर, परिभाषा के अनुसार

$W_{k}(x)=(-1)^{\sum _{j=0}^{\infty }k_{j}x_{j+1}}$

विशेष रूप से, $W_{0}(x)=1$ अंतराल पर प्रत्येक स्थान, चूँकि k के सभी बिट शून्य हैं।

नोटिस जो $W_{2^{m}}$ त्रुटिहीन रूप से रैडेमाकर प्रणाली r_m है। इस प्रकार, रैडेमाकर प्रणाली वॉल्श प्रणाली की उपप्रणाली है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक वॉल्श फ़ंक्शन रैडेमाकर फ़ंक्शन का उत्पाद है:

$W_{k}(x)=\prod _{j=0}^{\infty }r_{j}(x)^{k_{j}}$

वॉल्श फ़ंक्शंस और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस के मध्य तुलना

वॉल्श फ़ंक्शंस और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस दोनों प्रणालियाँ हैं जो फ़ंक्शंस का पूर्ण, लंबनात्मकता समुच्चय, हिल्बर्ट स्थान में ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाती हैं। इकाई अंतराल पर वर्ग-अभिन्न कार्यों का$L^{2}[0,1]$उसकी तरंगिका या फ्रैंकलिन प्रणाली के विपरीत, दोनों बंधे हुए कार्यों की प्रणालियाँ हैं।

त्रिकोणमिति और वॉल्श दोनों प्रणालियाँ इकाई अंतराल से वास्तविक रेखा तक आवधिकता द्वारा प्राकृतिक विस्तार $\mathbb {R}$ को स्वीकार करती हैं, इसके अतिरिक्त, इकाई अंतराल (फूरियर श्रृंखला) और वास्तविक रेखा (फूरियर रूपांतरण) पर दोनों फूरियर विश्लेषण में उनके डिजिटल समकक्षों को वॉल्श प्रणाली के माध्यम से परिभाषित किया गया है, वॉल्श श्रृंखला फूरियर श्रृंखला के अनुरूप है, और हेडमार्ड फूरियर ट्रांसफॉर्म के अनुरूप है।

गुण

वॉल्श प्रणाली $\{W_{k}\},k\in \mathbb {N} _{0}$ क्रमविनिमेय गुणात्मक असतत समूह समरूपी है $\coprod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, कैंटर क्यूब का पोंट्रीगिन द्वंद्व $\prod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ है।

इसकी पहचान $W_{0}$, और प्रत्येक एलिमेंट क्रम दो का है (अर्थात् स्व-प्रतिलोम)।

वॉल्श प्रणाली हिल्बर्ट अंतरिक्ष का ऑर्थोनोर्मलिटी आधार है $L^{2}[0,1]$ ओर्थोनोर्मलिटी का अर्थ है:

$\int _{0}^{1}W_{k}(x)W_{l}(x)dx=\delta _{kl}$,

और आधार होने का अर्थ है कि यदि, प्रत्येक के लिए $f\in L^{2}[0,1]$, समुच्चय करते हैं $f_{k}=\int _{0}^{1}f(x)W_{k}(x)dx$ तब

$\int _{0}^{1}(f(x)-\sum _{k=0}^{N}f_{k}W_{k}(x))^{2}dx{\xrightarrow[{N\rightarrow \infty }]{}}0$

यह ज्ञात होता है कि प्रत्येक के लिए $f\in <!--\; \in \; -->$