पाउली समीकरण

क्वांटम यांत्रिकी में, पाउली समीकरण या श्रोडिंगर-पाउली समीकरण, स्पिन-½ कणों के लिए श्रोडिंगर समीकरण का सूत्रीकरण है, जो बाहरी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ कण के स्पिन की बातचीत को ध्यान में रखता है। यह डिराक समीकरण की गैर-सापेक्षतावादी सीमा है और इसका उपयोग वहां किया जा सकता है जहां कण प्रकाश की गति से बहुत कम गति से गति कर रहे हैं ताकि सापेक्षतावादी प्रभावों को उपेक्षित किया जा सके। यह 1927 में वोल्फगैंग पाउली द्वारा तैयार किया गया था।

समीकरण

द्रव्यमान $m$ और विद्युत आवेश $q$ के एक कण के लिए, चुंबकीय वेक्टर क्षमता $\mathbf {A}$ और विद्युत अदिश क्षमता $\phi$ द्वारा वर्णित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में, पाउली समीकरण पढ़ता है:

Pauli equation (general)

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

यहाँ σ = ( σ _x , σ _y , σ _z ) सुविधा के लिए सदिश में एकत्र किए गए पाउली ऑपरेटर हैं, और p ^ = - iℏ∇ स्थिति प्रतिनिधित्व में गति संचालिका है। सिस्टम की स्थिति, Iψ (डायराक नोटेशन में लिखी गई), को दो-घटक स्पिनर वेवफंक्शन, या एक कॉलम वेक्टर (आधार के चुनाव के बाद) के रूप में माना जा सकता है:

पॉली ऑपरेटरों की वजह से हैमिल्टनियन ऑपरेटर 2 × 2 मैट्रिक्स है।

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi$

श्रोडिंगर समीकरण में प्रतिस्थापन से पॉली समीकरण प्राप्त होता है। यह हैमिल्टनियन विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ बातचीत करने वाले चार्ज कण के लिए चिरसम्मत हैमिल्टनियन के समान है। इस चिरसम्मत स्थिति के विवरण के लिए लोरेन्ट्ज़ बल देखें। विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति में एक मुक्त कण के लिए गतिज ऊर्जा शब्द सिर्फ ${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$ है जहाँ $\mathbf {p}$ गतिज गति है, जबकि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की उपस्थिति में, इसमें न्यूनतम युग्मन $\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}=\mathbf{p}-<!--\; -\; -->q$