शिफ्ट स्पेस

प्रतीकात्मक गतिशीलता और गणित की संबंधित शाखाओं में, शिफ्ट स्पेस या सबशिफ्ट अनंत स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) का समुच्चय है जो भिन्न प्रणाली के विकास का प्रतिनिधित्व करता है। वास्तव में, शिफ्ट स्पेस और प्रतीकात्मक गतिशीलता को अधिकांशतः पर्यायवाची माना जाता है। सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए शिफ्ट स्पेस परिमित प्रकार और सोफ़िक शिफ्ट के सबशिफ्ट हैं।

मौलिक रुपरेखा में शिफ्ट स्पेस $A^{\mathbb {Z} }:=\{(x_{i})_{i\in \mathbb {Z} }:\ x_{i}\in A\ \forall i\in \mathbb {Z} \}$ का कोई उपसमुच्चय $\Lambda$ है, जहां $A$ परिमित समुच्चय है, जो टाइकोनोव टोपोलॉजी के लिए संवृत है और अनुवाद द्वारा अपरिवर्तनीय है। अधिक सामान्यतः कोई शिफ्ट स्पेस को $A^{\mathbb {G} }$ के संवृत और अनुवाद-अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित कर सकता है, जहां $A$ कोई रिक्त समुच्चय है और $\mathbb {G}$ कोई मोनॉइड है।

परिभाषा

मान लीजिए कि $\mathbb {G}$ मोनॉइड है, और दिए गए $g,h\in \mathbb {G}$, उत्पाद $gh$ द्वारा $h$ के साथ $g$ के संचालन को निरूपित करते हैं। मान लीजिए कि $\mathbf {1} _{\mathbb {G} }$ की पहचान दर्शाता है। असतत टोपोलॉजी के साथ गैर-रिक्त समुच्च्य $A$ ( वर्णमाला) पर विचार करें, और $A^{\mathbb {G} }$ द्वारा अनुक्रमित $A$ पर सभी पैटर्न के समुच्च्य $\mathbf {x} =(x_{i})_{i\in \mathbb {G} }\in A^{\mathbb {G} }$ के रूप में परिभाषित करें। और उपसमुच्चय के लिए $\mathbb {G}$, हम $N$ के सूचकांकों पर $\mathbf {x}$ के प्रतिबंध को $\mathbf {x} _{N}:=(x_{i})_{i\in N}$ के रूप में दर्शाते हैं

$A^{\mathbb {G} }$ पर हम प्रोडिस्क्रीट टोपोलॉजी पर विचार करते हैं, जो $A^{\mathbb {G} }$ को हॉसडॉर्फ और पूरी तरह से डिस्कनेक्टेड टोपोलॉजिकल स्पेस बनाता है। $A$ के परिमित होने की स्थिति में, यह इस प्रकार है कि $A^{\mathbb {G} }$ सघन है। चूँकि, यदि $A$ परिमित नहीं है, तो $A^{\mathbb {G} }$ स्थानीय रूप से संहत भी नहीं है।

यह टोपोलॉजी मेट्रिज़ेबल होगी यदि और केवल यदि $\mathbb {G}$ गणनीय है, और, किसी भी स्थिति में, इस टोपोलॉजी के आधार में विवृत/संवृत समुच्चय (जिन्हें सिलेंडर कहा जाता है) का संग्रह होता है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: परिमित समुच्चय दिया गया है सूचकांकों का $D\subset \mathbb {G}$, और प्रत्येक के लिए, $i\in D$ दें। $D$ और $a_{i}\in A$ द्वारा दिया गया सिलेंडर समुच्चय $(a_{i})_{i\in D}\in A^{|D|}$ है

${\big [}(a_{i})_{i\in D}{\big ]}_{D}:=\{\mathbf {x} \in A^{\mathbb {G} }:\ x_{i}=a_{i},\ \forall i\in D\}.$

जब $D=\{g\}$ हम सिलेंडर को $g$ द्वारा अनुक्रमित प्रविष्टि पर प्रतीक $b$ को ठीक से $[b]_{g}$ के रूप में दर्शाते हैं

दूसरे शब्दों में, सिलेंडर ${\big [}(a_{i})_{i\in D}{\big ]}_{D}$ $A^{\mathbb {G} }$ के सभी अनंत पैटर्न के सभी समुच्चय का समुच्चय है जिसमें परिमित पैटर्न $(a_{i})_{i\in D}\in A^{|D|}$ होता है

दिया गया है, $g\in \mathbb {G}$ पर g-शिफ्ट मानचित्र को $A^{\mathbb {G} }$ द्वारा दर्शाया गया है। $\sigma ^{g}:A^{\mathbb {G} }\to A^{\mathbb {G} }$ और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^g({(x_i)}_{i\in <!--\; \in \; -->\mathbb{G}})={(x_{gi})}_i$