Nवे मूल

This article is about वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं के nवें-मूल. For अन्य उपयोग, see जड़ (बहुविकल्पी) या गणित.

गणित में, nवाँ मूल लेना एक ऑपरेशन है जिसमें दो संख्याएँ, मूलांक और सूचकांक या डिग्री सम्मिलित होती हैं। nवाँ मूल लेते हुए इसे {1} के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x मूलांक है और n सूचकांक है (लगभग कभी-कभी इसे डिग्री भी कहा जाता है)। इसे "x का nवाँ मूल" के रूप में उच्चारित किया जाता है। किसी संख्या x के nवें मूल की परिभाषा एक संख्या r (मूल) है, जिसे जब एक धनात्मक पूर्णांक n की घात तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:

$r^{n}=x,$

डिग्री 2 की जड़ को वर्गमूल कहा जाता है जहाँ n धनात्मक पूर्णांक है, जिसे कभी-कभी मूल की घात कहा जाता है। और डिग्री 3 की जड़ को घनमूल कहा जाता है। उच्च श्रेणी के मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी जड़, बीसवीं जड़, आदि। की गणना n जड़ जड़ निष्कर्षण है।

डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (आमतौर पर n के बिना इसे केवल \sqrt {x}} के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल (\sqrt[{3}]{x}} के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की जड़ों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी जड़, बीसवीं जड़, आदि। एनवें जड़ की गणना एक जड़ निष्कर्षण है।

उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3 है² = 9, और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3)² = 9.

किसी भी गैर-शून्य संख्या को सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है n भिन्न जटिल nवें मूल, वास्तविक संख्या वालों सहित (अधिकतम दो)। n'}}सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए 0 का मूल शून्य होता है n, जबसे 0ⁿ = 0. विशेष रूप से, यदि n सम है और x धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसका nजड़ें वास्तविक और धनात्मक हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब n > 2) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि n सम है और x ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं nवीं जड़ें असली हैं। यदि n विषम है और x वास्तविक है, nमूल वास्तविक है और इसका चिन्ह समान है x, जबकि अन्य (n – 1) जड़ें वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि x वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं nवें मूल वास्तविक हैं।

वास्तविक संख्याओं की जड़ें सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक का उपयोग करके लिखी जाती हैं ${\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}$, साथ ${\sqrt {x}}$ के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना x यदि x धनात्मक है; उच्च जड़ों के लिए, ${\sqrt[{n}]{x}}$ वास्तविक को दर्शाता है nकी जड़ें n विषम है, और धनात्मक nवाँ मूल यदि है n सम है और x धनात्मक है। अन्य स्थितियों में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में ${\sqrt[{n}]{x}}$, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है x रेडिकैंड कहा जाता है।

जब जटिल nवें जड़ों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः जड़ों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे प्रिंसिपल मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। आम पसंद प्रिंसिपल चुनना है nकी जड़ x के रूप में nवें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग के साथ, और जब दो होते हैं (के लिए x वास्तविक और नकारात्मक), धनात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह बनाता है nवें मूल फलन (गणित) है जो वास्तविक और धनात्मक है x वास्तविक और धनात्मक , और के मूल्यों को छोड़कर, पूरे जटिल विमान में निरंतर कार्य करता है x जो वास्तविक और ऋणात्मक हैं।

इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन nजड़ असली नहीं है। उदाहरण के लिए, $-8$ तीन घनमूल हैं, $-2$, $1+i{\sqrt {3}}$ तथा $1-i{\sqrt {3}}.$ वास्तविक घनमूल है $-2$ और मुख्य घनमूल है $1+i{\sqrt {3}}.$ एक अनसुलझी जड़, विशेष रूप से कट्टरपंथी प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी के रूप में जाना जाता है या कट्टरपंथी। कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को मूल व्यंजक कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तब इसे बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है। ।

जड़ों को घातांक के विशेष स्थितियों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है:

${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.$

<डिव क्लास = राइट>

मूल परीक्षण के साथ शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए जड़ों का उपयोग किया जाता है। nn}}1 के वें मूल को एकता की जड़ कहा जाता है और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में मौलिक भूमिका निभाते हैं, जैसे संख्या सिद्धांत, समीकरणों का सिद्धांत, और फूरियर रूपांतरण।

इतिहास

Main articles: वर्गमूल या इतिहास and घनमूल या इतिहास

nवें मूलों को लेने की संक्रिया के लिए पुरातन शब्द विकिरण है।

परिभाषा और अंकन

File:NegativeOne4Root.svg

−1 के चार चौथे मूल,
इनमें से कोई भी वास्तविक नहीं है

File:NegativeOne3Root.svg

−1 के तीन तीसरे मूल,
जिनमें से ऋणात्मक वास्तविक है

किसी संख्या x का n वाँ मूल, जहाँ n धनात्मक पूर्णांक है, कोई भी n वास्तविक या सम्मिश्र संख्या r है जिसका n वीं शक्ति x है:

$r^{n}=x.$

प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या x का धनात्मक nवां मूल होता है, जिसे मूल मान कहते हैं, जिसे लिखा जाता है ${\sqrt[{n}]{x}}$. n सामान्तर 2 के लिए इसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है और n को छोड़ दिया जाता है। nवें मूल को x के रूप में घातांक का उपयोग करके भी प्रदर्शित किया जा सकता है^1/n.

n के सम मानों के लिए, धनात्मक संख्याओं का ऋणात्मक nवां मूल भी होता है, जबकि ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक nवां मूल नहीं होता है। n के विषम मानों के लिए, प्रत्येक ऋणात्मक संख्या x का वास्तविक ऋणात्मक nवां मूल होता है। उदाहरण के लिए, −2 का वास्तविक 5वां मूल है, ${\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots$ किन्तु -2 का कोई वास्तविक छठा मूल नहीं है।

प्रत्येक गैर-शून्य संख्या x, वास्तविक या जटिल संख्या, की n भिन्न जटिल संख्या nth जड़ें होती हैं। (स्थितियांमें x वास्तविक है, इस गणना में कोई भी वास्तविक nth मूल सम्मिलित है।) 0 का एकमात्र सम्मिश्र मूल 0 है।

लगभग सभी संख्याओं के nवें मूल (nवें घात को छोड़कर सभी पूर्णांक, और दो nवें घात के भागफल को छोड़कर सभी परिमेय) अपरिमेय संख्या हैं। उदाहरण के लिए,

${\sqrt {2}}=1.414213562\ldots$