श्मिट अपघटन

रैखिक बीजगणित में, श्मिट अपघटन (इसके प्रवर्तक एरहार्ड श्मिट के नाम पर) दो आंतरिक उत्पाद स्थान के टेंसर उत्पाद में एक समन्वय सदिश को व्यक्त करने के एक विशेष विधि को संदर्भित करता है। क्वांटम सूचना सिद्धांत में इसके कई अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए क्वांटम उलझाव लक्षण वर्णन और क्वांटम अवस्था की शुद्धि, और प्लास्टिसिटी (भौतिकी) में स्थित है।

प्रमेय

मान लीजिए $H_{1}$ और $H_{2}$ क्रमशः आयाम n और m के हिल्बर्ट स्थान हैं। मान लीजिए $n\geq m$ टेंसर उत्पाद $H_{1}\otimes H_{2}$ में किसी भी सदिश $w$ के लिए, ऑर्थोनॉर्मल सेट उपस्थित हैं $\{u_{1},\ldots ,u_{m}\}\subset H_{1}$ और $\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\subset H_{2}$ जैसे कि ${\textstyle w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}}$ , जहां स्केलर $\alpha _{i}$ वास्तविक हैं, गैर- ऋणात्मक , और पुनः ऑर्डर करने तक अद्वितीय होते हैं।

प्रमाण

श्मिट अपघटन अनिवार्य रूप से एक अलग संदर्भ में एकवचन मूल्य अपघटन का पुनर्कथन है। लम्बवत आधारों $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}\subset H_{1}$ और $\{f_{1},\ldots ,f_{m}\}\subset H_{2}$ को ठीक करें। हम आव्यूह $e_{i}\otimes f_{j}$ के साथ एक प्राथमिक टेंसर $e_{i}f_{j}^{\mathsf {T}}$ की पहचान कर सकते हैं, जहां $f_{j}^{\mathsf {T}}$ , $f_{j}$ टेंसर उत्पाद का एक सामान्य तत्व का स्थानान्तरण है।

w=\sum _{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}\beta _{ij}e_{i}\otimes f_{j}

फिर n × m आव्यूह के रूप में देखा जा सकता है

\;M_{w}=(\beta _{ij}).

एकवचन मूल्य अपघटन द्वारा, एक n × n एकात्मक U, m × m एकात्मक V, और एक सकारात्मक-अर्ध-निश्चित आव्यूह विकर्ण m × m आव्यूह Σ उपस्थित होता है जैसे कि

M_{w}=U{\begin{bmatrix}\Sigma \\0\end{bmatrix}}V^{*}.

$U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}$ लिखें जहां $U_{1}$ n × m है और हमारे पास है

\;M_{w}=U_{1}\Sigma V^{*}.

होने देना $\{u_{1},\ldots ,u_{m}\}$ के एम स्तम्भ सदिश बनें $U_{1}$ , $\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}$ के स्तंभ सदिश ${\overline {V}}$ , और $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}$ Σ के विकर्ण तत्व पिछली अभिव्यक्ति तब है