स्थायी (गणित)

रैखिक बीजगणित में, एक वर्ग मैट्रिक्स का स्थाई, सारणिक के समान मैट्रिक्स का एक कार्य है। स्थायी, साथ ही निर्धारक, मैट्रिक्स की प्रविष्टियों में एक बहुपद है। दोनों मैट्रिक्स के अधिक सामान्य कार्य के विशेष मामले हैं जिन्हें िम्मनत कहा जाता है।

परिभाषा

एक का स्थायी n×n आव्यूह A = (a_i,j) परिभाषित किया जाता है

$$\operatorname {perm} (A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}.$$

यहां का योग सममित समूह एस के सभी तत्वों σ तक फैला हुआ है_n; यानी संख्या 1, 2, ..., एन के सभी क्रमपरिवर्तन पर।

उदाहरण के लिए,

$$\operatorname {perm} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad+bc,$$

और

$$\operatorname {perm} {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}=aei+bfg+cdh+ceg+bdi+afh.$$

ए के स्थायी की परिभाषा ए के निर्धारक से भिन्न है जिसमें क्रमपरिवर्तन के हस्ताक्षर (क्रमपरिवर्तन) को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

मैट्रिक्स ए के स्थायी को प्रति ए, पर्म ए, या प्रति ए द्वारा दर्शाया जाता है, कभी-कभी तर्क के चारों ओर कोष्ठक के साथ। मिनक आयताकार मैट्रिक्स के स्थायीकरण के लिए Per(A) का उपयोग करता है, और जब A एक वर्ग मैट्रिक्स है तो per(A) का उपयोग करता है। मुइर और मेट्ज़लर अंकन का उपयोग करते हैं ${\overset {+}{|}}\quad {\overset {+}{|}}$. स्थायी शब्द की उत्पत्ति 1812 में कॉची के साथ संबंधित प्रकार के फ़ंक्शन के लिए "फॉन्क्शन सिमेट्रिक्स परमानेंटेस" के रूप में हुई थी, और इसका उपयोग मुइर और मेट्ज़लर द्वारा किया गया था आधुनिक, अधिक विशिष्ट, अर्थ में।

गुण

यदि कोई स्थायी को एक मानचित्र के रूप में देखता है जो n वैक्टर को तर्क के रूप में लेता है, तो यह एक बहुरेखीय मानचित्र है और यह सममित है (जिसका अर्थ है कि वैक्टर के किसी भी क्रम का परिणाम समान स्थायी होता है)। इसके अलावा, एक वर्ग मैट्रिक्स दिया गया है $A=\left(a_{ij}\right)$ क्रम का n:

• ए की पंक्तियों और/या स्तंभों के मनमाने क्रमपरिवर्तन के तहत पर्म(ए) अपरिवर्तनीय है। इस संपत्ति को किसी भी उचित आकार के क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स पी और क्यू के लिए प्रतीकात्मक रूप से पर्म(ए) = पर्म(पीएक्यू) के रूप में लिखा जा सकता है।
• A की किसी एक पंक्ति या स्तंभ को एक अदिश (गणित) s से गुणा करने पर perm(A) से s⋅perm(A) बदल जाता है,
• खिसकाना के तहत पर्म (ए) अपरिवर्तनीय है, यानी, पर्म (ए) = पर्म (ए)^टी).
• अगर $A=\left(a_{ij}\right)$ और $B=\left(b_{ij}\right)$ तब क्रम n के वर्ग आव्यूह हैं,
  $$\operatorname {perm} \left(A+B\right)=\sum _{s,t}\operatorname {perm} \left(a_{ij}\right)_{i\in s,j\in t}\operatorname {perm} \left(b_{ij}\right)_{i\in {\bar {s}},j\in {\bar {t}}},$$
  जहां s और t {1,2,...,n} और के समान आकार के उपसमुच्चय हैं ${\bar {s}},{\bar {t}}$ उस सेट में उनके संबंधित पूरक हैं।
• अगर $A$ एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, अर्थात $a_{ij}=0$, जब कभी भी $i>j$ या, वैकल्पिक रूप से, जब भी $i<j$, तो इसका स्थायी (और निर्धारक भी) विकर्ण प्रविष्टियों के उत्पाद के बराबर होता है:
  $$\operatorname {perm} \left(A\right)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}.$$

निर्धारकों से संबंध

एक पंक्ति, स्तंभ या विकर्ण के साथ निर्धारक की गणना के लिए नाबालिगों द्वारा लाप्लास का विस्तार सभी संकेतों को अनदेखा करके स्थायी तक विस्तारित होता है। हरएक के लिए ${\textstyle i}$,

$$\mathbb {perm} (B)=\sum _{j=1}^{n}B_{i,j}M_{i,j},$$

कहाँ $B_{i,j}$ B की iवीं पंक्ति और jवें कॉलम की प्रविष्टि है, और $M_{}$