बहुपद वितरण

Multinomial

Parameters	$n>0$ number of trials (integer) $k>0$ number of mutually exclusive events (integer) $p_{1},\ldots ,p_{k}$ event probabilities, where $p_{1}+\dots +p_{k}=1$
Support	$\left\lbrace (x_{1},\dots ,x_{k})\,{\Big \vert }\,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n,x_{i}>0(i=1,\dots ,k)\right\rbrace$
PMF	${\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}$
Mean	$\operatorname {E} (X_{i})=np_{i}$
Variance	$\operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i})$ $\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)$
Entropy	$-\log(n!)-n\sum _{i=1}^{k}p_{i}\log(p_{i})+\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{i}=0}^{n}{\binom {n}{x_{i}}}p_{i}^{x_{i}}(1-p_{i})^{n-x_{i}}\log(x_{i}!)$
MGF	${\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}{\biggr )}^{n}$
CF	$\left(\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}\right)^{n}$ where $i^{2}=-1$
PGF	${\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}z_{i}{\biggr )}^{n}{\text{ for }}(z_{1},\ldots ,z_{k})\in \mathbb {C} ^{k}$

संभाव्यता सिद्धांत में, बहुपद वितरण द्विपद वितरण का सामान्यीकरण है। उदाहरण के लिए, यह k-पक्षीय पासे को n बार घुमाने पर प्रत्येक पक्ष की गिनती की संभावना को मॉडल करता है। n सांख्यिकीय स्वतंत्रता परीक्षणों के लिए, जिनमें से प्रत्येक k श्रेणियों में से किसी एक के लिए सफलता की ओर ले जाता है, प्रत्येक श्रेणी में निश्चित सफलता की संभावना होती है, बहुपद वितरण विभिन्न श्रेणियों के लिए सफलताओं की संख्या के किसी विशेष संयोजन की संभावना देता है।।

जब k 2 है एवं n 1 है, तो बहुपद वितरण बर्नौली वितरण है। जब k 2 है एवं n 1 से बड़ा है, तो यह द्विपद वितरण है। जब k 2 से बड़ा है एवं n 1 है, तो यह श्रेणीबद्ध वितरण है। "मल्टीनौली" शब्द का उपयोग कभी-कभी इस चार-तरफा रिश्ते पर जोर देने के लिए श्रेणीबद्ध वितरण के लिए किया जाता है (इसलिए n उपसर्ग निर्धारित करता है, एवं k प्रत्यय निर्धारित करता है)।

बर्नौली वितरण एकल बर्नौली परीक्षण के परिणाम को मॉडल करता है। दूसरे शब्दों में, यह मॉडल करता है कि क्या (संभवतः उचित सिक्का) सिक्के को उछालने पर या तो सफलता मिलेगी (चित प्राप्त करना) या असफलता (पूंछ प्राप्त करना) मिलेगी। द्विपद वितरण इसे एक ही सिक्के के n स्वतंत्र फ्लिप (बर्नौली परीक्षण) करने से प्राप्त अंकों की संख्या के आधार पर सामान्यीकृत करता है। बहुपद वितरण n प्रयोगों के परिणाम को मॉडल करता है, जहां प्रत्येक परीक्षण के परिणाम में श्रेणीबद्ध वितरण होता है, जैसे कि k-पक्षीय पासे को n बार रोल करना होता है।

मान लीजिए k निश्चित परिमित संख्या है। गणितीय रूप से, हमारे पास k संभावित परस्पर अनन्य परिणाम हैं, संबंधित संभावनाओं p के p₁, ..., p_k, एवं n स्वतंत्र परीक्षण हैं। चूँकि k परिणाम परस्पर अनन्य हैं एवं अवश्य घटित होता है, इसलिए हमारे पास p_i ≥ 0 के लिए i = 1,...,k एवं $\underset{i=1}{\overset{}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$