सेप्स्ट्रम

"सेप्स्ट्रल" redirects here. For पाठ से वाक् कंपनी, see सेपस्ट्रल (कंपनी).

फोरियर विश्लेषण में, सेप्स्ट्रम (/ˈkɛpstrʌm, ˈsɛp-, -strəm/; बहुवचन सेपस्ट्रा, विशेषण सेप्स्ट्रल) अनुमानित सिग्नल स्पेक्ट्रम के लघुगणक के व्युत्क्रम फोरियर रूपांतरण (आईएफटी) की गणना का परिणाम है। आवृत्ति स्पेक्ट्रा में आवधिक संरचनाओं की जांच के लिए विधि एक उपकरण है। मानव भाषण के विश्लेषण में पावर सेप्स्ट्रम के अनुप्रयोग हैं।

सेप्स्ट्रम शब्द, स्पेक्ट्रम नमक शब्द के कुछ वर्णो का स्थान बदल कर प्राप्त किया गया है। सेप्स्ट्रा के संचालन को क्वेफ्रेन्सी विश्लेषण (या क्वेफ्रेन्सी विश्लेषण), उत्थापन, या सेप्स्ट्रल विश्लेषण लेबल किया जाता है। इसका उच्चारण दो तरह से किया जा सकता है, दूसरा केपस्ट्रम के साथ भ्रम से बचने का लाभदायक है।

उत्पत्ति

सेपस्ट्रम की अवधारणा 1963 में बी. पी. बोगर्ट, एम. जे. हीली और जे. डब्ल्यू. तुकी द्वारा प्रस्तुत की गई थी। यह आवृत्ति स्पेक्ट्रा में आवधिक संरचनाओं की जांच करने के लिए एक उपकरण के रूप में कार्य करता है। इस तरह के प्रभाव संकेत में सुस्पष्ट प्रतिध्वनियों या प्रतिबिंबों से संबंधित होते हैं, या हार्मोनिक आवृत्तियों (आंशिक, ओवरटोन) की घटना से संबंधित होते हैं। गणितीय रूप से यह आवृत्ति दिक् में सिग्नलों के विघटन की समस्या से निपटता है।

ग्रंथ सूची में बोगर्ट पेपर के सन्दर्भों को प्रायः गलत तरीके से संपादित किया जाता है। फ्रीक्वेंसी, एनालिसिस, स्पेक्ट्रम और फेज में वर्णो को पुनर्स्थापित करके लेखकों द्वारा "क्वेफ्रेन्सी", "एलेनिसिस", "सेप्स्ट्रम" और "सेफे" शब्दों का आविष्कार किया गया। आविष्कृत शब्दों को पुराने शब्दों के अनुरूप परिभाषित किया जाता है।

सामान्य परिभाषा

सेप्स्ट्रम गणितीय संक्रियाओं के निम्नलिखित क्रम का परिणाम है:

• समय डोमेन से आवृत्ति डोमेन में सिग्नल का परिवर्तन
• स्पेक्ट्रल आयाम के लघुगणक की गणना
• क्वेफ़्रेंसी डोमेन में परिवर्तन, जहाँ अंतिम स्वतंत्र चर, क्वेफ़्रेंसी, का एक समय पैमाना है।

प्रकार

सेपस्ट्रम का उपयोग कई रूपों में किया जाता है। सर्वाधिक महत्वपूर्ण हैं:

• पावर सेपस्ट्रम: लघुगणक "पावर स्पेक्ट्रम" से लिया गया है
• जटिल सेपस्ट्रम: लघुगणक स्पेक्ट्रम से लिया जाता है, जिसकी गणना फोरियर विश्लेषण के माध्यम से की जाती है

सेप्स्ट्रम को समझाने के लिए सूत्रों में निम्नलिखित संक्षिप्त रूपों का उपयोग किया जाता है:

संक्षिप्ताक्षर	व्याख्या
$f(t)$	सिग्नल, जो समय का फलन है
$C$	सेप्स्ट्रम
${\mathcal {F}}$	फोरियर रूपांतरण: संक्षिप्त नाम सतत फोरियर रूपांतरण, असतत फोरियर रूपांतरण (डीएफटी) या यहां तक कि जेड-रूपांतरण के लिए प्रतीक हो सकता है, क्योंकि जेड-रूपांतरण डीएफटी का सामान्यीकरण है।
${\mathcal {F}}^{-1}$	फोरियर रूपांतरण का प्रतिलोम
$\log(x)$	एक्स का लघुगणक। आधार बी की पसंद उपयोगकर्ता पर निर्भर करती है। कुछ लेखों में आधार निर्दिष्ट नहीं है, अन्य लोग आधार 10 या ई को वरीयता देते हैं। आधार के चुनाव का मूल गणना नियमों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, लेकिन कभी-कभी आधार ई सरलीकरण की ओर ले जाता है (देखें "जटिल सेपस्ट्रम")।
$\left|x\right|$	निरपेक्ष मान, या सम्मिश्र मान का परिमाण, जिसकी गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके वास्तविक और काल्पनिक भाग से की जाती है।
$\left|x\right|^{2}$	निरपेक्ष वर्ग
$\varphi$	सम्मिश्र मान का कला कोण

पावर सेपस्ट्रम

"सेप्स्ट्रम" को मूल रूप से निम्नलिखित संबंधों द्वारा पावर सेप्स्ट्रम के रूप में परिभाषित किया गया है:

$C_{p}=\left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log \left(\left|{\mathcal {F}}\{f(t)\}\right|^{2}\right)\right\}\right|^{2}$

पावर सेप्स्ट्रम में ध्वनि और कंपन संकेतों के विश्लेषण में मुख्य अनुप्रयोग हैं। यह स्पेक्ट्रल विश्लेषण के लिए पूरक उपकरण है।

कभी-कभी इसे निम्न रूप में भी परिभाषित किया जाता है:

$C_{p}=\left|{\mathcal {F}}\left\{\log \left(\left|{\mathcal {F}}\{f(t)\}\right|^{2}\right)\right\}\right|^{2}$

इस सूत्र के कारण, सेपस्ट्रम को कभी-कभी किसी स्पेक्ट्रम का स्पेक्ट्रम भी कहा जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि दोनों सूत्र एक-दूसरे के अनुरूप हैं क्योंकि आवृत्ति स्पेक्ट्रल वितरण समान रहता है, केवल अंतर स्केलिंग कारक है जिसे बाद में लागू किया जा सकता है। कुछ लेख दूसरे सूत्र को पसंद करते हैं।

अन्य संकेतन इस तथ्य के कारण संभव हैं कि यदि स्केलिंग कारक 2 लागू किया जाता है तो पावर स्पेक्ट्रम का लॉग स्पेक्ट्रम के लॉग के बराबर होता है:

$\log |{\mathcal {F}}|^{2}=2\log |{\mathcal {F}}|$

अतः

$C_{p}=\left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{2\log |{\mathcal {F}}|\right\}\right|^{2},{\text{ or}}$

$C_{p}=4\cdot \left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log |{\mathcal {F}}|\right\}\right|^{2},$

जो वास्तविक सेप्स्ट्रम के साथ संबंध प्रदान करता है (नीचे देखें)।

इसके अतिरिक्त, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पावर स्पेक्ट्रम $C_{p}$ के लिए सूत्र में अंतिम वर्ग संक्रिया को कभी-कभी अनावश्यक कहा जाता है और इसलिए कभी-कभी छोड़ दिया जाता है।

वास्तविक सेपस्ट्रम प्रत्यक्ष रूप से पावर सेप्स्ट्रम से संबंधित है:

$C_{p}=4\cdot C_{r}^{2}$

यह कला अभियोग (जटिल लघुगणक के काल्पनिक भाग में निहित) को त्यागकर जटिल सेप्स्ट्रम (नीचे परिभाषित) से प्राप्त होता है। इसका केंद्र स्पेक्ट्रम के आयामों में आवधिक प्रभावों पर होता है:

$C_{r}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log({\mathcal {|{\mathcal {F}}\{f(t)\}|}})\right\}$

जटिल सेप्स्ट्रम

जटिल सेप्स्ट्रम को होमोमोर्फिक प्रणाली सिद्धांत के अपने विकास में ओपेनहेम द्वारा परिभाषित किया गया था। सूत्र अन्य साहित्य में भी उपलब्ध कराया गया है।

$C_{c}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log({\mathcal {F}}\{f(t)\})\right\}$

जैसा कि ${\mathcal {F}}$ सम्मिश्र है, लघुगणक-पद को ${\mathcal {F}}$ के साथ परिमाण और कला के उत्पाद के रूप में और बाद में योग के रूप में भी लिखा जा सकता है। इसके अतिरिक्त सरलीकरण स्पष्ट है, यदि लघुगणक आधार ई के साथ एक प्राकृतिक लघुगणक है:

$\log <!--\; \; -->(\mathcal{F})=\log <!--\; \; -->(\mathcal{|}\mathcal{F}\mathcal{|}\cdot <!--\; \cdot \; -->$