संपूर्ण फलन

कॉम्प्लेक्स विश्लेषण में, संपूर्ण फलन, जिसे अभिन्न फलन भी कहा जाता है, कॉम्प्लेक्स-मूल्यवान फलन (गणित) है, जो पूरे कॉम्प्लेक्स समतल पर होलोमोर्फिक फलन है। संपूर्ण फलनों के विशिष्ट उदाहरण बहुपद और घातीय फलन हैं, और इनमें से कोई भी परिमित योग, गुणन और रचनाएं, जैसे कि त्रिकोणमितीय फलन साइन और कोज्या और उनके अतिशयोक्तिपूर्ण फलन अतिपरवलयिक ज्या और अतिशयोक्तिपूर्ण कोज्या, साथ ही त्रुटि फलन जैसे संपूर्ण फलन के व्युत्पन्न और अभिन्न। यदि संपूर्ण फलन $f(z)$ किसी फलन $w$ का मूल है, तब $f(z)/(z-w)$, सीमा का मान $w$ ले रहा है, वह संपूर्ण फलन है। दूसरी ओर, प्राकृतिक लघुगणक, व्युत्क्रम फलन और वर्गमूल सभी संपूर्ण फलन नहीं हैं, न ही वे किसी संपूर्ण फलन की विश्लेषणात्मक निरंतरता हो सकते हैं।

पारलौकिक फलन संपूर्ण फलन एक संपूर्ण फलन है, जो बहुपद नहीं है।

जिस प्रकार मेरोमोर्फिक फलनों को तर्कसंगत भिन्नों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, उसी प्रकार संपूर्ण फलनों को बहुपदों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से, यदि मेरोमोर्फिक फलनों के लिए कोई गुणनखंडन को सरल अंशों में सामान्यीकृत कर सकता है (मेरोमोर्फिक फलन के अपघटन पर मिट्टाग-लेफ़लर प्रमेय), तो संपूर्ण फलनों के लिए गुणनखंडन का सामान्यीकरण होता है - संपूर्ण फलनों पर वीयरस्ट्रैस प्रमेय।

गुण

प्रत्येक संपूर्ण फलन $\ f(z)\$ एकल शक्ति श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है;

$$\ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\$$

कॉम्प्लेक्स तल में हर जगह अभिसरण (गणित), इसलिए कॉम्पैक्ट अभिसरण की त्रिज्या अनंत है, जिसका तात्पर्य यह है;

$$\ \lim _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}=0\$$

या

$$\ \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~.$$

इस मानदंड को पूरा करने वाली कोई भी शक्ति श्रृंखला संपूर्ण फलन का प्रतिनिधित्व करेगी।

यदि (और केवल यदि) शक्ति श्रृंखला के सभी गुणांक वास्तविक हैं, तो फलन स्पष्ट रूप से वास्तविक तर्कों के लिए वास्तविक मान लेता है, और कॉम्प्लेक्स संयुग्म पर फलन का मान लेता है, $\ z\$ पर मान का कॉम्प्लेक्स संयुग्म $\ z~$होगा। ऐसे फलनों को कभी-कभी स्व-संयुग्मित (संयुग्मित फलन, $\ F^{*}(z)\ ,$ $\ {\bar {F}}({\bar {z}})\$) द्वारा दिया जा रहा है।

यदि किसी बिंदु के पड़ोस में किसी संपूर्ण फलन का वास्तविक भाग ज्ञात होता है, तो संपूर्ण कॉम्प्लेक्स तल के लिए, काल्पनिक स्थिरांक तक, वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग ज्ञात होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि वास्तविक भाग शून्य के पड़ोस में ज्ञात है, तो हम इसके लिए गुणांक $n>0$ पा सकते हैं, वास्तविक चर $\ r\$ के संबंध में निम्नलिखित व्युत्पन्नों से:

$${\begin{aligned}\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f(r)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\\\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f\left(r\ e^{-{\frac {i\pi }{2n}}}\right)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\end{aligned}}$$

(इसी तरह, यदि काल्पनिक भाग किसी पड़ोस (गणित) में ज्ञात है, तो फलन वास्तविक स्थिरांक तक निर्धारित होता है।) वास्तव में, यदि वास्तविक भाग किसी वृत्त के चाप पर ही ज्ञात होता है, तो फलन काल्पनिक स्थिरांक के लिए निर्धारित होता है।

चूँकि ध्यान दें कि संपूर्ण फलन सभी वक्रों पर उसके वास्तविक भाग द्वारा नहीं निर्धारित होता है। विशेष रूप से, यदि वास्तविक भाग कॉम्प्लेक्स तल में किसी वक्र पर दिया गया है, जहां किसी अन्य संपूर्ण फलन का वास्तविक भाग शून्य है, तो उस फलन के किसी भी गुणज को उस फलन में जोड़ा जा सकता है, जिसे हम निर्धारित करने का प्रयास कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, यदि वक्र जहां वास्तविक भाग ज्ञात है वह वास्तविक रेखा है, तो हम किसी भी स्व-संयुग्मित फलन का समय $\ i\$ जोड़ सकते हैं। यदि वक्र लूप बनाता है, तो यह लूप पर फलन के वास्तविक भाग द्वारा निर्धारित किया जाता है क्योंकि केवल वे फलन जिनका वास्तविक भाग वक्र पर शून्य हैं, जो हर जगह कुछ काल्पनिक संख्या के बराबर हैं।

वीयरस्ट्रैस गुणनखंडन प्रमेय का प्रमाण है कि किसी भी संपूर्ण फलन को किसी फलन के शून्य (या जड़ों) वाले गुणन द्वारा दर्शाया जा सकता है।

कॉम्प्लेक्स तल पर संपूर्ण फलन अभिन्न डोमेन (वास्तव में प्रुफ़र डोमेन) बनाते हैं। वे कॉम्प्लेक्स संख्याओं पर क्रम विनिमेय इकाई बीजगणित साहचर्य बीजगणित भी बनाते हैं।

लिउविले का प्रमेय (कॉम्प्लेक्स विश्लेषण)|लिउविले का प्रमेय बताता है कि किसी भी परिबद्ध फलन का पूरा फलन स्थिर होना चाहिए।

लिउविले के प्रमेय के परिणामस्वरूप, कोई भी फलन जो संपूर्ण रीमैन क्षेत्र पर संपूर्ण स्थिर है। इस प्रकार किसी भी गैर-स्थिर संपूर्ण फलन में अनंत पर कॉम्प्लेक्स बिंदु पर गणितीय विलक्षणता होनी चाहिए, या तो बहुपद के लिए ध्रुव (कॉम्प्लेक्स विश्लेषण) या ट्रान्सेंडैंटल फलन संपूर्ण फलन के लिए आवश्यक विलक्षणता होनी चाहिए। विशेष रूप से, कैसोराती-वीयरस्ट्रैस प्रमेय द्वारा, किसी भी पारलौकिक संपूर्ण फलन के लिए $\ f\$ और कोई भी कॉम्प्लेक्स $\ w\$ क्रम ${}_{}$