समनिरंतरता

गणितीय विश्लेषण में, यदि सभी फलन सतत फलन हैं और यहां वर्णित सटीक अर्थ में, किसी दिए गए सामीप्य पर उनमें समान भिन्नता है, तो फलनों का एक समूह समनिरंतर होता है। विशेष रूप से, यह अवधारणा गणनीय सेट समूहों और इस प्रकार फलनों के अनुक्रमों पर अनप्रयुक्‍त होती है।

एस्कोली के प्रमेय के निर्माण में समनिरंतरता दिखाई देती है, जिसमें कहा गया है कि C(X) का एक अर्धसमुच्चय, एक सघन(कॉम्पैक्ट) हॉसडॉर्फ समष्टि X पर सतत फलनों की समष्टि, सघन है यदि और केवल यदि यह विवृत है, बिंदुवार घिरा हुआ है और समनिरंतर है। एक उपप्रमेय के रूप में, C(X) में एक अनुक्रम समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि यह समनिरंतर है और बिंदुवार रूप से एक फलन में अभिसरण करता है (जरूरी नहीं कि संतत एक-प्राथमिकता हो)। विशेष रूप से, मीट्रिक समष्टि पर या स्थानीय रूप से सतत समष्टि पर सतत फलनों f_n के एक समनिरंतर बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम की सीमा या तो सतत है। यदि, इसके अतिरिक्त, f_n पूर्णसममितिक हैं, तो सीमा भी पूर्णसममितिक है।

एकसमान सीमाबद्धता सिद्धांत बताता है कि बानाच समष्टियों के बीच सतत रैखिक ऑपरेटरों का एक बिंदुवार विवृत समूह समनिरंतर है।

मीट्रिक समष्टि के बीच समनिरंतरता

मान लीजिए कि X और Y दो मीट्रिक समष्टि हैं, और F, X से Y तक फलनों का एक समूह है। हम इन समष्टियों के संबंधित मैट्रिक्स को d द्वारा निरूपित करेंगे।

समूह F एक x₀∈ X बिंदु पर समनिरंतर है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₀), ƒ(x)) < ε सभी ƒ ∈ F के लिए और सभी x जैसे कि d(x)₀, x) < δ है। यदि समूह X के प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर है, तो वह बिंदुवार समनिरंतर है।

समूह F समान रूप से समनिरंतर है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₁), ƒ(x₂)) < ε सभी ƒ ∈ F और सभी x₁, x₂के लिए,∈ X जैसे कि d(x₁, x₂) <δ है।

तुलना के लिए, कथन F में सभी फलन सतत हैं' का अर्थ है कि प्रत्येक ε > 0, प्रत्येक ƒ ∈ F, और प्रत्येक x₀ ∈ X के लिए, वहाँ एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x₀), ƒ(x)) < ε सभी x ∈ X के लिए जैसे कि d(x₀, x) < δ है।

• निरंतरता के लिए, δ ε, ƒ, और x₀ पर निर्भर हो सकता है.
• एकसमान निरंतरता के लिए, δ ε और ƒ पर निर्भर हो सकता है।
• बिंदुवार समनिरंतरता के लिए, δ ε और x पर निर्भर हो सकता है₀.
• एकसमान समनिरंतरता के लिए, δ केवल ε पर निर्भर हो सकता है।

अधिक प्रायः, जब X एक सांस्थितिक समष्टि होता है, तो X से Y तक के फलनों के एक समुच्चय F को x पर समनिरंतर कहा जाता है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, x में एक निकटवर्ती U_x होता है जैसे कि

$d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon$

सभी y ∈ U_x और ∈F के लिए है। यह परिभाषा प्रायः सांस्थितिक सदिश समष्टि के संदर्भ में दिखाई देती है।

जब X संहत होता है, तो एक समुच्चय समान रूप से समनिरंतर होता है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर हो, अनिवार्य रूप से उसी कारण से क्योंकि एकसमान निरंतरता और निरंतरता संहत समष्टियों पर मेल खाती है। अपने आप में प्रयुक्त, "समनिरंतरता" शब्द संदर्भ के आधार पर या तो बिंदुवार या एकसमान धारणा को संदर्भित कर सकता है। एक सघन समष्टि पर, ये धारणाएँ मेल खाती हैं।

कुछ बुनियादी गुण परिभाषा से तुरंत अनुसरण करते हैं। सतत फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समनिरंतर है। एक समनिरंतर समुच्चय का समापन पुनः समनिरंतर है। फलनों प्रके समान रूप से समनिरंतर समूह का प्रत्येक सदस्य समान रूप से निरंतर है, और समान रूप से निरंतर फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समान रूप से समनिरंतर है।

उदाहरण

• एक सामान्य लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के साथ फलनों का एक समुच्चय (समान रूप से) समनिरंतर है। विशेष रूप से, यह स्थिति है यदि समुच्चय में समान स्थिरांक से घिरे व्युत्पन्न फलन होते हैं।
• समान सीमाबद्धता सिद्धांत निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के एक समुच्चय के लिए समनिरंतर होने के लिए पर्याप्त परिस्थिति देता है।
• विश्लेषणात्मक फलन के पुनरावृत्तों का एक समूह फ़तौ समुच्चय पर समनिरंतर है।

प्रतिउदाहरण

• फलनों का अनुक्रम f_n(x) = आर्कटेन(nx), समनिरंतर नहीं है क्योंकि x₀=0 पर परिभाषा का उल्लंघन होता है।

सांस्थितिक समूहों में मानचित्रों मानों की समरूपता

मान लीजिए कि T एक सांस्थितिक समष्टि है और Y एक योज्य सांस्थितिक समूह है (यानी एक समूह एक टोपोलॉजी से संपन्न है जो इसके संचालन को निरंतर बनाता है)। सांस्थितिक सदिश समष्टि सांस्थितिक समूहों के प्रमुख उदाहरण हैं और प्रत्येक सांस्थितिक समूह में एक संबद्ध विहित एकरूपता होती है।

परिभाषा: T से Y तक के मानचित्रों के एक समूह H को t ∈ T पर समनिरंतर कहा जाता है यदि Y में 0 के प्रत्येक सामीप्य V के लिए T में t के कुछ सामीप्य U निहित जैसे कि प्रत्येक h ∈ H के लिए h(U) ⊆ h(t) + V है। हम कहते हैं कि H समनिरंतर है यदि यह T के प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर है।

ध्यान दें कि यदि H एक बिंदु पर समनिरंतर है H में प्रत्येक मानचित्र बिंदु पर सतत है। स्पष्टतः, T से Y तक सतत मानचित्रों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समनिरंतर है।

समनिरंतर रैखिक मानचित्र

क्योंकि प्रत्येक टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि (टीवीएस) एक सांस्थितिक समूह है, इसलिए सांस्थितिक समूहों के लिए दिए गए मानचित्रों के एक समनिरंतर समूह की परिभाषा बिना किसी बदलाव के टीवीएस में स्थानांतरित हो जाती है।

समनिरंतर रैखिक मानचित्रों का लक्षण वर्णन

दो सांस्थितिक सदिश समष्टि के बीच फॉर्म $X\to Y$ के मानचित्रों के एक समूह $H$ को एक बिंदु $x\in X$ पर समनिरंतर कहा जाता है यदि $Y$ में मूल के प्रत्येक सामीप्य $V$ के लिए $X$ में मूल के कुछ सामीप्य $U$ निहित हैं जैसे कि $h(x+U)\subseteq h(x)+V$ सभी $h\in H$ के लिए है।

यदि $H$ मानचित्रों का एक समूह है और $U$ एक समुच्चय है तो मान लीजिए $H(U):=\bigcup _{h\in H}h(U)$ है। संकेतन के साथ, यदि $U$ और $V$ तो समुच्चय हैं तो सभी $h\in H$ के लिए $h(U)\subseteq V$ यदि केवल $H(U)\subseteq V$ है।

मान लीजिए कि $X$ और $Y$ सांस्थितिक सदिश समष्टि (टीवीएस) हैं $H$ $X$ से $Y$ तक रैखिक ऑपरेटरों का एक समूह है। उसके बाद निम्न बराबर हैं:

1. $H$ समनिरंतर है।
3. $H$, $X$ के प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर है।
5. $H$, $X$ के किसी बिंदु पर समनिरंतर है।
7. $H$ मूल बिंदु पर समनिरंतर है।
   • अर्थात् $Y$ में मूल के प्रत्येक सामीप्य $V$ के लिए के लिए, $X$ में मूल के एक सामीप्य $U$ का अस्तित्व है जैसे कि $H(U)\subseteq V$ (या समकक्ष, प्रत्येक $h(U)\subseteq V$ के लिए $h\in H$ है)।
   • $Y$ में मूल बिंदु के प्रत्येक सामीप्य $V$ के लिए $\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)$, $X$ में मूल बिंदु का सामीप्य है।
8. $L_{\sigma }(X;Y)$ में $H$ का विवृत होना समनिरंतर हैl
• $L_{\sigma }(X;Y)$ बिंदु-वार अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न $$