समनिरंतरता

गणितीय विश्लेषण में, यदि सभी फलन सतत फलन हैं और यहां वर्णित सटीक अर्थ में, किसी दिए गए सामीप्य पर उनमें समान भिन्नता है, तो फलनों का एक समूह समसतत् होता है।विशेष रूप से, यह अवधारणा गणनीय सेट समूहों और इस प्रकार फलनों के अनुक्रमों पर अनप्रयुक्‍त होती है।

एस्कोली के प्रमेय के निर्माण में समसतत्ता दिखाई देती है, जिसमें कहा गया है कि C(X) का एक उपसमुच्चय, एक सघन(कॉम्पैक्ट) हॉसडॉर्फ स्पेस X पर सतत फलनों का स्थान, सघन है यदि और केवल यदि यह बंद है, बिंदुवार घिरा हुआ है और समसतत् है। एक उपप्रमेय के रूप में, C(X) में एक अनुक्रम समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि यह समसतत् है और बिंदुवार रूप से एक फलन में अभिसरण करता है (जरूरी नहीं कि संतत एक-प्राथमिकता हो)। विशेष रूप से, मीट्रिक समष्टि पर या स्थानीय रूप से सतत स्थान पर सतत फलनों f_n के एक समसतत् बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम की सीमा या तो सतत है। यदि, इसके अतिरिक्त, f_n होलोमार्फिक हैं, तो सीमा भी होलोमोर्फिक है।

एकसमान सीमाबद्धता सिद्धांत बताता है कि बानाच स्थानों के बीच सतत रैखिक ऑपरेटरों का एक बिंदुवार बंधा हुआ समूह समसतत् है।

मीट्रिक समष्टि के बीच समसतत्ता

मान लीजिए कि X और Y दो मीट्रिक समष्टि हैं, और F, X से Y तक फलनों का एक समूह है। हम इन स्थानों के संबंधित मैट्रिक्स को d द्वारा निरूपित करेंगे।

समूह F एक x₀∈ X बिंदु पर समसतत् है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₀), ƒ(x)) < ε सभी ƒ ∈ F के लिए और सभी x जैसे कि d(x)₀, x) < δ है। यदि समूह X के प्रत्येक बिंदु पर समसंतत है, तो वह बिंदुवार समसंतत है।

समूह F समान रूप से समसतत् है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₁), ƒ(x₂)) < ε सभी ƒ ∈ F और सभी x₁, x₂के लिए,∈ X जैसे कि d(x₁, x₂) <δ है।

तुलना के लिए, कथन F में सभी फलन सतत हैं' का अर्थ है कि प्रत्येक ε > 0, प्रत्येक ƒ ∈ F, और प्रत्येक x₀ ∈ X के लिए, वहाँ एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x₀), ƒ(x)) < ε सभी x ∈ X के लिए जैसे कि d(x₀, x) < δ है।

• निरंतरता के लिए, δ ε, ƒ, और x₀ पर निर्भर हो सकता है.
• एकसमान निरंतरता के लिए, δ ε और ƒ पर निर्भर हो सकता है।
• बिंदुवार समसतत्ता के लिए, δ ε और x पर निर्भर हो सकता है₀.
• एकसमान समसतत्ता के लिए, δ केवल ε पर निर्भर हो सकता है।

अधिक प्रायः, जब X एक सांस्थितिक स्पेस होता है, तो X से Y तक के फलनों के एक समुच्चय F को x पर समसतत् कहा जाता है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, x में एक निकटवर्ती U_x होता है जैसे कि

$d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon$

सभी y ∈ U_x और ∈F के लिए है। यह परिभाषा प्रायः सांस्थितिक वेक्टर स्पेस के संदर्भ में दिखाई देती है।

जब X संहत होता है, तो एक समुच्चय समान रूप से समसतत् होता है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक बिंदु पर समसतत् हो, अनिवार्य रूप से उसी कारण से क्योंकि एकसमान निरंतरता और निरंतरता संहत स्थानों पर मेल खाती है। अपने आप में प्रयुक्त, "समसतत्ता" शब्द संदर्भ के आधार पर या तो बिंदुवार या एकसमान धारणा को संदर्भित कर सकता है। एक सघन समष्टि पर, ये धारणाएँ मेल खाती हैं।

कुछ बुनियादी गुण परिभाषा से तुरंत अनुसरण करते हैं। सतत फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समसतत् है। एक समसतत् समुच्चय का समापन पुनः समसतत् है। फलनों प्रके समान रूप से समसतत् समूह का प्रत्येक सदस्य समान रूप से निरंतर है, और समान रूप से निरंतर फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समान रूप से समसतत् है।

उदाहरण

• एक सामान्य लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के साथ फलनों का एक समुच्चय (समान रूप से) समसतत् है। विशेष रूप से, यह स्थिति है यदि समुच्चय में समान स्थिरांक से घिरे व्युत्पन्न फलन होते हैं।
• समान सीमाबद्धता सिद्धांत निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के एक समुच्चय के लिए समसतत् होने के लिए पर्याप्त परिस्थिति देता है।
• विश्लेषणात्मक फलन के पुनरावृत्तों का एक समूह फ़तौ समुच्चय पर समसतत् है।

प्रतिउदाहरण

• फलनों का अनुक्रम f_n(x) = आर्कटेन(nx), समसतत् नहीं है क्योंकि x₀=0 पर परिभाषा का उल्लंघन होता है।

सांस्थितिक समूहों में मानचित्रों मानों की समरूपता

मान लीजिए कि T एक सांस्थितिक स्पेस है और Y एक योज्य सांस्थितिक समूह है (यानी एक समूह एक टोपोलॉजी से संपन्न है जो इसके संचालन को निरंतर बनाता है)। सांस्थितिक वेक्टर स्पेस सांस्थितिक समूहों के प्रमुख उदाहरण हैं और प्रत्येक सांस्थितिक समूह में एक संबद्ध विहित एकरूपता होती है।

परिभाषा: T से Y तक के मानचित्रों के एक समूह H को t ∈ T पर समसतत् कहा जाता है यदि Y में 0 के प्रत्येक सामीप्य V के लिए T में t के कुछ सामीप्य U निहित जैसे कि प्रत्येक h ∈ H के लिए h(U) ⊆ h(t) + V है। हम कहते हैं कि H समसतत् है यदि यह T के प्रत्येक बिंदु पर समसतत् है।

ध्यान दें कि यदि H एक बिंदु पर समसतत् है H में प्रत्येक मानचित्र बिंदु पर सतत है। स्पष्टतः, T से Y तक सतत मानचित्रों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समसतत् है।

समसतत् रैखिक मानचित्र

क्योंकि प्रत्येक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) एक सांस्थितिक समूह है, इसलिए सांस्थितिक समूहों के लिए दिए गए मानचित्रों के एक समसतत् समूह की परिभाषा बिना किसी बदलाव के टीवीएस में स्थानांतरित हो जाती है।

समसतत् रैखिक मानचित्रों का लक्षण वर्णन

दो सांस्थितिक वेक्टर स्पेस के बीच फॉर्म $X\to Y$ के मानचित्रों के एक समूह $H$ को एक बिंदु $x\in X$ पर समसतत् कहा जाता है यदि $Y$ में मूल के प्रत्येक सामीप्य $V$ के लिए $X$ में मूल के कुछ सामीप्य $U$ निहित हैं जैसे कि $h(x+U)\subseteq h(x)+V$ सभी $h\in H$ के लिए है।

यदि $H$ मानचित्रों का एक समूह है और $U$ एक समुच्चय है तो मान लीजिए $H(U):=\bigcup _{h\in H}h(U)$ है। संकेतन के साथ, यदि $U$ और $V$ तो समुच्चय हैं तो सभी $h\in H$ के लिए $h(U)\subseteq V$ यदि केवल $H(U)\subseteq V$ है।

मान लीजिए कि $X$ और $Y$ सांस्थितिक वेक्टर स्पेस (टीवीएस) हैं $H$ $X$ से $Y$ तक रैखिक ऑपरेटरों का एक समूह है। उसके बाद निम्न बराबर हैं:

1. $H$ समसतत् है।
3. $H$, $X$ के प्रत्येक बिंदु पर समसतत् है।
5. $H$, $X$ के किसी बिंदु पर समसतत् है।
7. $H$ मूल बिंदु पर समसतत् है।
   • अर्थात् $Y$ में मूल के प्रत्येक सामीप्य $V$ के लिए के लिए, $X$ में मूल के एक सामीप्य $U$ का अस्तित्व है जैसे कि $H(U)\subseteq V$ (या समकक्ष, प्रत्येक $h(U)\subseteq V$ के लिए $h\in H$ है)।
   • $Y$ में मूल बिंदु के प्रत्येक सामीप्य $V$ के लिए $\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)$, $X$ में मूल बिंदु का सामीप्य है।
8. $L_{\sigma }(X;Y)$ में $H$ का बंद होना समसतत् हैl
• $L_{\sigma }(X;Y)$ बिंदु-वार अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न $L(X;Y)$ को दर्शाता है।
• $H$ का संतुलित सेट समसतत् है।

जबकि यदि $Y$ स्थानीय रूप से उत्तल है तो इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

8. $H$ का उत्तल सेट समसतत् है।