समनिरंतरता

गणितीय विश्लेषण में, यदि सभी फलन सतत फलन हैं और यहां वर्णित सटीक अर्थ में, किसी दिए गए सामीप्य पर उनमें समान भिन्नता है, तो फलनों का एक परिवार समनिरंतर होता है।विशेष रूप से, यह अवधारणा गणनीय सेट परिवारों और इस प्रकार फलनों के अनुक्रमों पर अनप्रयुक्‍त होती है।

एस्कोली के प्रमेय के निर्माण में समनिरंतरता दिखाई देती है, जिसमें कहा गया है कि C(X) का एक उपसमुच्चय, एक सघन हॉसडॉर्फ स्पेस X पर सतत फलनों का स्थान, सघन है यदि और केवल यदि यह बंद है, बिंदुवार घिरा हुआ है और समनिरंतर है। एक उपप्रमेय के रूप में, C(X) में एक अनुक्रम समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि यह समनिरंतर है और बिंदुवार रूप से एक फलन में अभिसरण करता है (जरूरी नहीं कि संतत एक-प्राथमिकता हो)। विशेष रूप से, मीट्रिक स्थान पर या स्थानीय रूप से सतत स्थान पर सतत फलनों f_n के एक समनिरंतर बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम की सीमा या तो सतत है। यदि, इसके अतिरिक्त, f_n होलोमार्फिक हैं, तो सीमा भी होलोमोर्फिक है।

एकसमान सीमाबद्धता सिद्धांत बताता है कि बानाच स्थानों के बीच सतत रैखिक ऑपरेटरों का एक बिंदुवार बंधा हुआ परिवार समनिरंतर है।

मीट्रिक स्थानों के बीच समनिरंतरता

मान लीजिए कि X और Y दो मीट्रिक स्थान हैं, और F, X से Y तक फलनों का एक परिवार है। हम इन स्थानों के संबंधित मैट्रिक्स को d द्वारा निरूपित करेंगे।

परिवार F एक x₀∈ X बिंदु पर समसतत् है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₀), ƒ(x)) < ε सभी ƒ ∈ F के लिए और सभी x जैसे कि d(x)₀, x) < δ है। यदि परिवार X के प्रत्येक बिंदु पर समसंतत है, तो वह बिंदुवार समसंतत है।

परिवार F समान रूप से समनिरंतर है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₁), ƒ(x₂)) < ε सभी ƒ ∈ F और सभी x₁, x₂के लिए,∈ X जैसे कि d(x₁, x₂) <δ है।

तुलना के लिए, कथन F में सभी फलन सतत हैं' का अर्थ है कि प्रत्येक ε > 0, प्रत्येक ƒ ∈ F, और प्रत्येक x₀ ∈ X के लिए, वहाँ एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x₀), ƒ(x)) < ε सभी x ∈ X के लिए जैसे कि d(x₀, x) < δ है।

• निरंतरता के लिए, δ ε, ƒ, और x₀ पर निर्भर हो सकता है.
• एकसमान निरंतरता के लिए, δ ε और ƒ पर निर्भर हो सकता है।
• बिंदुवार समनिरंतरता के लिए, δ ε और x पर निर्भर हो सकता है₀.
• एकसमान समनिरंतरता के लिए, δ केवल ε पर निर्भर हो सकता है।

अधिक प्रायः, जब X एक सांस्थितिक स्पेस होता है, तो X से Y तक के फलनों के एक समुच्चय F को x पर समनिरंतर कहा जाता है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, x में एक निकटवर्ती U_x होता है जैसे कि

$d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon$

सभी y ∈ U_x और ∈F के लिए है। यह परिभाषा प्रायः सांस्थितिक वेक्टर स्पेस के संदर्भ में दिखाई देती है।

जब X संहत होता है, तो एक समुच्चय समान रूप से समनिरंतर होता है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर हो, अनिवार्य रूप से उसी कारण से क्योंकि एकसमान निरंतरता और निरंतरता संहत स्थानों पर मेल खाती है। अपने आप में इस्तेमाल किया जाने वाला, संदर्भ के आधार पर, समरूपता शब्द या तो बिंदुवार या एकसमान धारणा को संदर्भित कर सकता है। एक सघन स्थान पर, ये धारणाएँ मेल खाती हैं।

कुछ बुनियादी गुण परिभाषा से तुरंत अनुसरण करते हैं। सतत फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समसतत् है। एक समनिरंतर समुच्चय का समापन पुनः समनिरंतर है। अपने आप में प्रयुक्त, "समनिरंतरता" शब्द संदर्भ के आधार पर या तो बिंदुवार या एकसमान धारणा को संदर्भित कर सकता है। एक सघन स्थान पर, ये धारणाएँ मेल खाती हैं।

उदाहरण

• एक सामान्य लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के साथ फलनों का एक सेट (समान रूप से) समनिरंतर है। विशेष रूप से, यह मामला है यदि सेट में समान स्थिरांक से घिरे डेरिवेटिव वाले फलन होते हैं।
• समान सीमाबद्धता सिद्धांत निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के एक सेट के लिए समविरंतर होने के लिए पर्याप्त शर्त देता है।
• विश्लेषणात्मक फलन के पुनरावृत्तों का एक परिवार फ़तौ सेट पर समतुल्य है।

प्रतिउदाहरण

• फलनों का क्रम f_n(x) = arctan(nx), समविरंतर नहीं है क्योंकि x पर परिभाषा का उल्लंघन होता है₀=0.

टोपोलॉजिकल समूहों में मूल्यवान मानचित्रों की समरूपता

लगता है कि T एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और Y एक योगात्मक टोपोलॉजिकल समूह है (यानी एक समूह (बीजगणित) एक टोपोलॉजी से संपन्न है जो इसके संचालन को निरंतर बनाता है)। टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस टोपोलॉजिकल समूहों के प्रमुख उदाहरण हैं और प्रत्येक टोपोलॉजिकल समूह में एक संबद्ध कैनोनिकल एकसमान स्थान होता है।

परिभाषा: एक परिवार H से मानचित्रों का T में Y को समसतत् कहा जाता है t ∈ T यदि प्रत्येक सामीप्य के लिए V का 0 में Y, वहां कुछ सामीप्य निहित है U का t में T ऐसा है कि h(U) ⊆ h(t) + V हरएक के लिए h ∈ H. हम ऐसा कहते हैं H समसतत् है यदि यह प्रत्येक बिंदु पर समसतत् है T.

ध्यान दें कि यदि H प्रत्येक मानचित्र की तुलना में एक बिंदु पर समसतत् है H बिंदु पर निरंतर है। स्पष्ट रूप से, सतत मानचित्रों का प्रत्येक परिमित सेट T में Y समनिरंतर है.

समसंतुलित रैखिक मानचित्र

क्योंकि प्रत्येक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) एक टोपोलॉजिकल समूह है, इसलिए टोपोलॉजिकल समूहों के लिए दिए गए मानचित्रों के एक समनिरंतर परिवार की परिभाषा बिना किसी बदलाव के टीवीएस में स्थानांतरित हो जाती है।

समसतत् रैखिक मानचित्रों का लक्षण वर्णन

एक परिवार $H$ प्रपत्र के मानचित्रों का $X\to Y$ दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के बीच कहा जाता है equicontinuous at a point $x\in X$ यदि प्रत्येक सामीप्य के लिए $V$ में उत्पत्ति का $Y$ वहाँ कुछ सामीप्य निहित है $U$ में उत्पत्ति का $X$ ऐसा है कि $h(x+U)\subseteq h(x)+V$ सभी के लिए $h\in H.$ अगर $H$ मानचित्रों का एक परिवार है और $U$ एक समुच्चय है तो चलो $H(U):=\bigcup _{h\in H}h(U).$ अंकन के साथ, यदि $U$ और $V$ तो सेट हैं $h(U)\subseteq V$ सभी के लिए $h\in H$ अगर और केवल अगर $H(U)\subseteq V.$ होने देना $X$ और $Y$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) बनें और $H$ से रैखिक ऑपरेटरों का एक परिवार बनें $X$ में $Y.$ उसके बाद निम्न बराबर हैं:

<ली>$H$ समनिरंतर है; <ली>$H$ के प्रत्येक बिन्दु पर समसतत् है $X.$ <ली>$H$ किसी बिंदु पर समनिरंतर है $X.$ <ली>$H$ मूल पर समसतत् है।
• अर्थात् प्रत्येक मोहल्ले के लिए $V$ में उत्पत्ति का $Y,$ वहाँ एक सामीप्य निहित है $U$ में उत्पत्ति का $X$ ऐसा है कि $H(U)\subseteq V$ (या समकक्ष, $h(U)\subseteq V$हरएक के लिए $h\in H$).
1. प्रत्येक सामीप्य के लिए $V$ में उत्पत्ति का $Y,$ $\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)$ में मूल का सामीप्य है $X.$
2. का समापन $H$ में $L_{\sigma }(X;Y)$ समनिरंतर है.
   • ${}_{}$