टेंसर घनत्व

विभेदक ज्यामिति में, एक टेंसर घनत्व या सापेक्ष टेंसर, टेंसर क्षेत्र अवधारणा का एक सामान्यीकरण है। एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में जाने पर एक टेंसर घनत्व एक टेंसर क्षेत्र के रूप में परिवर्तित हो जाता है (टेंसर फ़ील्ड देखें), सिवाय इसके कि इसे समन्वय संक्रमण के जैकोबियन निर्धारक की शक्ति डब्ल्यू द्वारा अतिरिक्त रूप से गुणा या भारित किया जाता है। फ़ंक्शन या उसका निरपेक्ष मान. एकल सूचकांक वाले टेंसर घनत्व को वेक्टर घनत्व कहा जाता है। (प्रामाणिक) टेंसर घनत्व, स्यूडोटेंसर घनत्व, सम टेंसर घनत्व और विषम टेंसर घनत्व के बीच अंतर किया जाता है। कभी-कभी नकारात्मक भार W वाले टेंसर घनत्व को टेंसर क्षमता कहा जाता है। एक टेंसर घनत्व को एक घनत्व बंडल के साथ टेंसर बंडल के टेंसर उत्पाद के एक खंड (फाइबर बंडल) के रूप में भी माना जा सकता है।

विभेदक ज्यामिति में, एक टेंसर घनत्व या सापेक्ष टेंसर, टेंसर क्षेत्र अवधारणा का एक सामान्यीकरण है। एक समन्वय प्रणाली से दूसरे समन्वय प्रणाली में जाने पर एक टेंसर घनत्व एक टेंसर क्षेत्र के रूप में परिवर्तित हो जाता है (टेंसर फ़ील्ड देखें), सिवाय इसके कि इसे समन्वय संक्रमण फ़ंक्शन या इसके निरपेक्ष मान के जैकोबियन निर्धारक की शक्ति डब्ल्यू द्वारा अतिरिक्त रूप से गुणा या भारित किया जाता है। एकल सूचकांक वाले टेंसर घनत्व को वेक्टर घनत्व कहा जाता है। (प्रामाणिक) टेंसर घनत्व, स्यूडोटेंसर घनत्व, सम टेंसर घनत्व और विषम टेंसर घनत्व के बीच अंतर किया जाता है। कभी-कभी नकारात्मक भार W वाले टेंसर घनत्व को टेंसर क्षमता कहा जाता है। एक टेंसर घनत्व को एक घनत्व बंडल के साथ टेंसर बंडल के टेंसर उत्पाद के एक खंड (फाइबर बंडल) के रूप में भी माना जा सकता है।

प्रेरणा

भौतिकी और संबंधित क्षेत्रों में, वस्तु के बजाय बीजगणितीय वस्तु के घटकों के साथ काम करना अक्सर उपयोगी होता है। एक उदाहरण एक वेक्टर को कुछ गुणांकों द्वारा भारित बेसिस (रैखिक बीजगणित) वैक्टर के योग में विघटित करना होगा जैसे कि

$${\vec {v}}=c_{1}{\vec {e}}_{1}+c_{2}{\vec {e}}_{2}+c_{3}{\vec {e}}_{3}$$
 कहाँ ${\vec {v}}$ 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक वेक्टर है, $c_{i}\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}{\vec {e}}_{i}$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सामान्य मानक आधार वैक्टर हैं। यह आमतौर पर कम्प्यूटेशनल उद्देश्यों के लिए आवश्यक है, और अक्सर व्यावहारिक हो सकता है जब बीजगणितीय वस्तुएं जटिल अमूर्तता का प्रतिनिधित्व करती हैं लेकिन उनके घटकों की ठोस व्याख्या होती है। हालाँकि, इस पहचान के साथ, किसी को उस अंतर्निहित आधार के परिवर्तनों को ट्रैक करने में सावधानी बरतनी होगी जिसमें मात्रा का विस्तार किया गया है; यह गणना के दौरान वेक्टर के आधार को बदलने के लिए समीचीन हो सकता है ${\vec {v}}$ भौतिक स्थान में स्थिर रहता है। अधिक आम तौर पर, यदि एक बीजगणितीय वस्तु एक ज्यामितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करती है, लेकिन एक विशेष आधार के संदर्भ में व्यक्त की जाती है, तो यह आवश्यक है कि जब आधार बदला जाए, तो प्रतिनिधित्व को भी बदला जाए। भौतिक विज्ञानी अक्सर एक ज्यामितीय वस्तु के इस प्रतिनिधित्व को एक टेन्सर  कहेंगे यदि यह आधार के रैखिक परिवर्तन के तहत रैखिक मानचित्रों के अनुक्रम के तहत परिवर्तित हो जाता है (हालांकि भ्रमित करने वाले अन्य लोग अंतर्निहित ज्यामितीय वस्तु को बुलाते हैं जो समन्वय परिवर्तन के तहत नहीं बदला है, एक टेंसर, एक सम्मेलन यह लेख सख्ती से टालता है)। सामान्य तौर पर ऐसे अभ्यावेदन होते हैं जो मनमाने ढंग से रूपांतरित होते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि प्रतिनिधित्व से ज्यामितीय अपरिवर्तनीय का पुनर्निर्माण कैसे किया जाता है। कुछ विशेष मामलों में अभ्यावेदन का उपयोग करना सुविधाजनक होता है जो लगभग टेंसर की तरह बदलता है, लेकिन परिवर्तन में एक अतिरिक्त, गैर-रेखीय कारक के साथ। एक प्रोटोटाइप उदाहरण एक मैट्रिक्स है जो क्रॉस उत्पाद (विस्तारित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र) का प्रतिनिधित्व करता है $\mathbb {R} ^{2}.$ द्वारा मानक आधार पर प्रतिनिधित्व दिया जाता है
$${\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}$$

यदि अब हम इसी अभिव्यक्ति को मानक आधार के अलावा किसी अन्य आधार पर व्यक्त करने का प्रयास करें, तो वैक्टर के घटक बदल जाएंगे, मान लीजिए के अनुसार ${\textstyle {\begin{bmatrix}u'_{1}&u'_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}=A{\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ कहाँ $A$ वास्तविक संख्याओं का कुछ 2 बटा 2 मैट्रिक्स है। यह देखते हुए कि फैले हुए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र एक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय है, यह आधार के परिवर्तन के तहत नहीं बदला जा सकता है, और इसलिए इस मैट्रिक्स का नया प्रतिनिधित्व होना चाहिए:

$$\left(A^{-1}\right)^{\textsf {T}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}A^{-1}$$

जो, विस्तारित होने पर केवल मूल अभिव्यक्ति है लेकिन निर्धारक द्वारा गुणा किया जाता है $A^{-1},$ यह भी जो ${\textstyle {\frac {1}{\det A}}.}$ वास्तव में इस प्रतिनिधित्व को दो सूचकांक टेंसर परिवर्तन के रूप में सोचा जा सकता है, लेकिन इसके बजाय, टेंसर परिवर्तन नियम को गुणा के रूप में सोचना कम्प्यूटेशनल रूप से आसान है ${\textstyle {\frac {1}{\det A}},}$ 2 मैट्रिक्स गुणन के बजाय (वास्तव में उच्च आयामों में, इसका प्राकृतिक विस्तार है $n,n\times n$ मैट्रिक्स गुणन, जो बड़े के लिए $n$ पूरी तरह से अव्यवहार्य है)। जो वस्तुएं इस तरह से परिवर्तित होती हैं उन्हें टेंसर घनत्व कहा जाता है क्योंकि वे क्षेत्रों और आयतन से संबंधित समस्याओं पर विचार करते समय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं, और इसलिए अक्सर एकीकरण में उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

कुछ लेखक इस लेख में टेन्सर घनत्व को दो प्रकारों में वर्गीकृत करते हैं जिन्हें (प्रामाणिक) टेन्सर घनत्व और स्यूडोटेंसर घनत्व कहा जाता है। अन्य लेखक उन्हें अलग-अलग प्रकार से वर्गीकृत करते हैं, जिन्हें सम टेंसर घनत्व और विषम टेंसर घनत्व कहा जाता है। जब टेंसर घनत्व भार एक पूर्णांक होता है तो इन दृष्टिकोणों के बीच एक तुल्यता होती है जो इस पर निर्भर करती है कि पूर्णांक सम है या विषम।

ध्यान दें कि ये वर्गीकरण अलग-अलग तरीकों को स्पष्ट करते हैं कि टेंसर घनत्व अभिविन्यास-उलट समन्वय परिवर्तनों के तहत कुछ हद तक पैथोलॉजिकल रूप से बदल सकते हैं। इन प्रकारों में उनके वर्गीकरण के बावजूद, केवल एक ही तरीका है कि टेंसर घनत्व अभिविन्यास-संरक्षण समन्वय परिवर्तनों के तहत परिवर्तित हो जाते हैं।

इस लेख में हमने उस परिपाटी को चुना है जो +2 का भार निर्दिष्ट करती है $g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)$, सदिश सूचकांकों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण के साथ व्यक्त मीट्रिक टेंसर का निर्धारक। इस विकल्प के साथ, शास्त्रीय घनत्व, जैसे चार्ज घनत्व, को वजन +1 के टेंसर घनत्व द्वारा दर्शाया जाएगा। कुछ लेखक वज़न के लिए एक संकेत परिपाटी का उपयोग करते हैं जो कि यहां प्रस्तुत किए गए वज़न का निषेध है। इस लेख में प्रयुक्त अर्थ के विपरीत, सामान्य सापेक्षता में स्यूडोटेन्सर का अर्थ कभी-कभी एक ऐसी वस्तु से होता है जो किसी भार के टेंसर या सापेक्ष टेंसर की तरह परिवर्तित नहीं होती है।

टेंसर और स्यूडोटेंसर घनत्व

उदाहरण के लिए, वजन का मिश्रित रैंक-दो (प्रामाणिक) टेंसर घनत्व $W$ के रूप में रूपांतरित होता है:

${\mathfrak{T}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\left(det\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}^{\mathrm{\iota <!--\; \iota \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}\right]\right)}^W\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{}{}}^{}}$