हैंडल अपघटन

गणित में, m-बहुरूपता M का हैंडल अपघटन समुच्च है

$$\emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M$$

जहां प्रत्येक $M_{i}$ को $i$-हैंडल संलग्न करके $M_{i-1}$ से प्राप्त किया जाता है। हैंडल अपघटन सांस्थितिक अंतराल के लिए CW-अपघटन के समान बहुरूपता है - कई स्थितियों में हैंडल अपघटन का उद्देश्य CW-संकुलों के अनुरूप एक भाषा है, लेकिन निष्कोण बहुरूपता की दुनिया के लिए अनुकूलित है। इस प्रकार i-हैंडल i-सेल का निष्कोण अनुरूप है। मोर्स सिद्धांत के माध्यम से बहुरूपताओं का हैंडल विघटन स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। हैंडल संरचनाओं का संशोधन सेर्फ़ सिद्धांत से निकटता से जुड़ा हुआ है।

एक 3-गेंद जिसमें तीन 1-हैंडल लगे हुए हैं।

अभिप्रेरण

एक शून्य सेल और n-सेल के साथ n-वृत्त के मानक CW-अपघटन पर विचार करें। निष्कोण बहुरूपता के दृष्टिकोण से, यह वृत्त का एक विकृत अपघटन है, क्योंकि इस अपघटन की दृष्टि से $S^{n}$ की निष्कोण संरचना को देखने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है- विशेष रूप से 0-सेल के निकट निष्कोण संरचना $S^{n-1}$ के क्षेत्र में विशेषता मानचित्र $\chi :D^{n}\to S^{n}$ के व्यवहार पर निर्भर करती है।

CW-अपघटन के साथ समस्या यह है कि सेलों के लिए संलग्न मानचित्र बहुरूपता के बीच निष्कोण मानचित्रों की दुनिया में नहीं रहते हैं। इस दोष को ठीक करने के लिए रोगाणु संबंधी अंतर्दृष्टि नलिकाकार क्षेत्र प्रमेय है। बहुरूपता M में एक बिंदु p दिया गया है, इसका संवृत्त नलिकाकार क्षेत्र $N_{p}$, $D^{m}$ से भिन्न है, इस प्रकार हमने M को $N_{p}$ और $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ के असंयुक्त समुच्च में विघटित कर दिया है, जो उनकी सामान्य सीमा से जुड़ा हुआ है। यहां महत्वपूर्ण मुद्दा यह है कि चिपकाने वाला मानचित्र एक भिन्नरूपता है। इसी प्रकार, $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ में निष्कोण अंतःस्थापित चाप लें, इसका नलिकाकार क्षेत्र $I\times D^{m-1}$ से भिन्न है। यह हमें $M$ को तीन बहुरूपताओं के समुच्च के रूप में लिखने की अनुमति देता है, जो उनकी सीमाओं के कुछ भागों के साथ चिपके हुए हैं- 1) $D^{m}$ 2) $I\times D^{m-1}$ और 3) $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ में चाप के विवृत नलिकाकार क्षेत्र का पूरक। ध्यान दें कि सभी चिपकाने वाले मानचित्र निष्कोण मानचित्र हैं - विशेष रूप से जब हम $I\times D^{m-1}$ को $D^{m}$ से चिपकाते हैं तो समतुल्य संबंध $\partial D^{m}$ में $(\partial I)\times D^{m-1}$ के अंतःस्थापन द्वारा उत्पन्न होता है, जो नलिकाकार क्षेत्र प्रमेय द्वारा निष्कोण होता है।

हैंडल अपघटन स्टीफ़न स्माले का आविष्कार है। उनके मूल सूत्रीकरण में, j-हैंडल को m-बहुरूपता M से जोड़ने की प्रक्रिया यह मानती है कि किसी के पास $f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M$ का निष्कोण अंतःस्थापन है। माना $H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}$। बहुरूपता $M\cup _{f}H^{j}$ (शब्दों में, M समुच्च j-हैंडल f के साथ) $M$ और $H^{j}$ के असंयुक्त समुच्च को संदर्भित करता है जिसमें $\partial M$ में इसके चित्र के साथ $S^{j-1}\times D^{m-j}$ की पहचान होती है, अर्थात,

$$M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim$$

जहां समतुल्य संबंध $\sim$ सभी $(p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}$ के लिए $(p,x)\sim f(p,x)$ द्वारा उत्पन्न होता है। एक का कहना है कि j-हैंडल संलग्न करके M से बहुरूपता N प्राप्त किया जाता है यदि M का निश्चित रूप से अनेक j-हैंडल के साथ समुच्च N से भिन्न है। हैंडल अपघटन की परिभाषा तब परिचय के समान है। इस प्रकार, बहुरूपता में केवल 0-हैंडल के साथ हैंडल अपघटन होता है यदि यह गेंदों के असंयुक्त समुच्च के लिए भिन्न होता है। संबद्ध बहुरूपता जिसमें केवल दो प्रकार के हैंडल होते हैं (अर्थात- 0-हैंडल और कुछ निश्चित j के लिए j-हैंडल) को हैंडलबॉडी कहा जाता है।

शब्दावली

M समुच्च बनाते समय एक j-हैंडल $H^{j}$

$$M{\cup <!--\; \cup \; -->}_f{H}^{}$$