प्राइमोरियल

गणित में, और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, प्राइमोरियल, जिसे # द्वारा निरूपित किया जाता है, कारख़ाने का फ़ंक्शन के समान प्राकृतिक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं तक एक फ़ंक्शन (गणित) है, लेकिन सकारात्मक पूर्णांकों को क्रमिक रूप से गुणा करने के बजाय, फ़ंक्शन केवल अभाज्य संख्याओं को गुणा करता है।

हार्वे डबनेर द्वारा गढ़ा गया प्राइमोरियल नाम, प्राइम्स के साथ एक सादृश्य बनाता है, ठीक उसी तरह जैसे फैक्टोरियल नाम कारकों से संबंधित है।

अभाज्य संख्याओं की परिभाषा

p n #

के एक कार्य के रूप में

n

, लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।

के लिए $n$ वाँ अभाज्य संख्या $p n$ , आदिम $p n #$ को पहले के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है $n$ अभाज्य:^[1]^[2]

p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}

,

कहाँ $p k$ है $k$ वाँ अभाज्य संख्या. उदाहरण के लिए, $p 5 #$ पहले 5 अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है:

p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

प्रथम पाँच आदिम $p n #$ हैं:

2 (संख्या), 6 (संख्या), 30 (संख्या), 210 (संख्या), 2310 (संख्या) (sequence A002110 in the OEIS).

क्रम भी शामिल है $p 0 # = 1$ खाली उत्पाद के रूप में। असम्बद्ध रूप से, आदिम $p n #$ इसके अनुसार बढ़ें:

p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n},

कहाँ $o ( )$ लिटिल ओ अंकन है।^[2]

प्राकृत संख्याओं की परिभाषा

n!

(पीला) के एक कार्य के रूप में

n

, की तुलना में

n #

(लाल), दोनों को लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।

सामान्य तौर पर, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$ , यह आदिम है, $n#$ , उन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है जो इससे बड़े नहीं हैं $n$ ; वह है,^[1]^[3]

n\#=\prod _{p\leq n \atop p{\text{ prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#

,

कहाँ $π (n)$ अभाज्य-गिनती कार्य है (sequence A000720 in the OEIS), जो अभाज्य संख्या ≤ देता है $n$ . यह इसके बराबर है:

n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{if }}n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n{\text{ is composite}}.\end{cases}}

उदाहरण के लिए, 12# उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है ≤ 12:

12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

तब से $π (12) = 5$ , इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:

12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.

के पहले 12 मानों पर विचार करें $n #$ :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310।

हम इसे समग्र के लिए देखते हैं $n$ प्रत्येक पद $n #$ बस पिछले शब्द की नकल करता है $(n - 1)#$ , जैसा कि परिभाषा में दिया गया है। उपरोक्त उदाहरण में हमारे पास है $12# = p 5 # = 11#$ चूँकि 12 एक भाज्य संख्या है।

प्रिमोरियल पहले लिखे गए चेबीशेव समारोह से संबंधित हैं $ϑ (n)$ or $θ (n)$ के अनुसार:

\ln(n\#)=\vartheta (n).

^[4]

तब से $ϑ (n)$ स्पर्शोन्मुख रूप से दृष्टिकोण $n$ के बड़े मूल्यों के लिए $n$ , प्राइमोरियल्स इसलिए बढ़ते हैं:

n\#=e^{(1+o(1))n}.

सभी ज्ञात अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का विचार अभाज्य संख्याओं की अनंतता के कुछ प्रमाणों में होता है, जहाँ इसका उपयोग किसी अन्य अभाज्य संख्या के अस्तित्व को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

विशेषताएँ

होने देना $p$ और $q$ दो आसन्न अभाज्य संख्याएँ हों। कोई भी दिया गया $n\in \mathbb {N}$ , कहाँ $p\leq n<q$ :

n\#=p\#

प्राइमोरियल के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन ज्ञात है:^[5]

n\#\leq 4^{n}

.

टिप्पणियाँ:

प्रारंभिक विधि का प्रयोग करते हुए गणितज्ञ डेनिस हैन्सन ने यह दर्शाया $n\#\leq 3^{n}$ ^[6]
अधिक उन्नत तरीकों का उपयोग करके, रोसेर और स्कोनफेल्ड ने दिखाया $n\#\leq (2.763)^{n}$ ^[7]
प्रमेय 4, सूत्र 3.14 में रोसेर और स्कोनफेल्ड ने इसे दिखाया $n\geq 563$ , $n\#\geq (2.22)^{n}$ ^[7]