वलय समरूपता

वलय समरूपता में, अमूर्त बीजगणित की शाखा, वलय होमोमोर्फिज्म दो वलय (बीजगणित) के मध्य संरचना-संरक्षण फलन (गणित) है। अधिक स्पष्ट रूप से, यदि R और S वलय हैं, तो वलय समरूपता फलन f : R → S है जैसे कि f है:

अतिरिक्त संरक्षण:

$f(a+b)=f(a)+f(b)$ R में सभी a और b के लिए,

गुणन संरक्षण:

R में सभी a और b के लिए, $f(ab)=f(a)f(b)$

और इकाई (गुणक पहचान) को संरक्षित करना:

$f(1_{R})=1_{S}$.

योगात्मक व्युत्क्रम और योगात्मक पहचान भी संरचना का भाग हैं, किंतु यह स्पष्ट रूप से आवश्यक नहीं है कि उनका भी सम्मान किया जाए, क्योंकि ये स्थितियाँ उपरोक्त तीन स्थितियों के परिणाम हैं।

यदि इसके अतिरिक्त f आक्षेप है, तो इसका व्युत्क्रम फलन f⁻¹ भी वलय समरूपता है। इस स्तिथि में, f को वलय समरूपता कहा जाता है, वलय R और S को समरूपी कहा जाता है। वलय सिद्धांत के दृष्टिकोण से, समरूपी वलय को भिन्न नहीं किया जा सकता है।

यदि R और S rng (बीजगणित) हैं तो संबंधित धारणा rng समरूपता है, तीसरा नियम f(1_R) = 1_S को छोड़कर ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है। (इकाई) वलयों के मध्य rng समरूपता को वलय समरूपता होने की आवश्यकता नहीं है।

दो वलय समरूपता की संरचना फलन वलय समरूपता है। ससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी वलयों का वर्ग वलय समरूपताओं के साथ आकारिकी के रूप में श्रेणी बनाता है (cf. वलयों की श्रेणी)। विशेष रूप से, कोई वलय एंडोमोर्फिज्म, वलय आइसोमोर्फिज्म और वलय आकारिता की धारणा प्राप्त करता है।

गुण

मान लीजिये $f\colon R\rightarrow S$ वलय समरूपता है। फिर, इन परिभाषाओं से, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है:

f(0_R) = 0_S

• R में सभी a के लिए f(−a) = −f(a)।
• R में किसी भी