अवकल बीजगणित

This article is about algebraic study of differential equations. For the concept in homological algebra, see Differential graded algebra.

गणित में, विभेदक बीजगणित, बड़े पैमाने पर गणित का वह क्षेत्र है जिसमें समाधान की गणना किए बिना विभेदक समीकरण और संक्रियक के गुणों को प्राप्त करने को ध्यान में रखकर बीजगणित के रूप में विभेदक समीकरणों और विभेदक संक्रियक का अध्ययन सम्मिलित है, उसी तरह जैसे बहुपद बीजगणित का उपयोग किया जाता है। बीजगणितीय प्रकारों का अध्ययन, जो बहुपद समीकरणों की प्रणालियों के समाधान समूह हैं। वेइल बीजगणित और ली बीजगणित को विभेदक बीजगणित से संबंधित माना जा सकता है।

अधिक विशेष रूप से, विभेदक बीजगणित 1950 में जोसेफ रिट द्वारा प्रस्तुत किए गए सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसमें विभेदक वलय, विभेदक क्षेत्र और विभेदक बीजगणित वलय, क्षेत्र और बीजगणित हैं जो कि कई व्युत्पत्तियों से सुसज्जित हैं।

विभेदक क्षेत्र का एक प्राकृतिक उदाहरण जटिल संख्याओं पर एक चर में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र $\mathbb {C} (t)$ है, जहां व्युत्पत्ति के संबंध में भेदभाव $t$ है। अधिक सामान्यतः प्रत्येक विभेदक समीकरण को समीकरण में दिखाई देने वाले (ज्ञात) फलन द्वारा उत्पन्न विभेदक क्षेत्र पर विभेदक बीजगणित के एक तत्व के रूप में देखा जा सकता है।

इतिहास

जोसेफ रिट ने विभेदक बीजगणित विकसित किया क्योंकि उन्होंने विभेदक समीकरणों की प्रणालियों को विभिन्न विहित रूपों में कम करने के प्रयासों को एक असंतोषजनक दृष्टिकोण के रूप में देखा। यद्यपि, बीजगणितीय उन्मूलन विधियों और बीजगणितीय मैनिफोल्ड सिद्धांत की सफलता ने रिट को विभेदक समीकरणों के लिए एक समान दृष्टिकोण पर विचार करने के लिए प्रेरित किया। उनके प्रयासों से प्रारंभिक बीजगणितीय विभेदक समीकरणों की प्रणालियों द्वारा परिभाषित कार्यों के प्रारंभिक पेपर मैनिफोल्ड्स और 2 पुस्तकें, बीजगणितीय दृष्टिकोण और विभेदक बीजगणित से विभेदक समीकरण।। रिट के छात्र एलिस कल्चेन ने इस क्षेत्र को आगे बढ़ाया और विभेदक बीजगणित और बीजगणितीय समूह प्रकाशित किया।

विभेदक वलय

परिभाषा

व्युत्पत्ति ${\textstyle \partial }$ वलय पर ${\textstyle {\mathcal {R}}}$ एक फलन है $\partial :R\to R\,$ ऐसा कि

$$\partial (r_{1}+r_{2})=\partial r_{1}+\partial r_{2}$$

और

$\partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})\quad$ (लीबनिज़ उत्पाद नियम),

प्रत्येक $r_{1}$ और $r_{2}$ में $R$ के लिए

व्युत्पत्ति पूर्णांकों पर रैखिक मानचित्र है क्योंकि ये सर्वसमिकाएं संकेत $\partial (0)=\partial (1)=0$ और $\partial (-r)=-\partial (r)$ देती हैं एक विभेदक वलय एक क्रमविनिमेय वलय $R$ है, एक या अधिक व्युत्पत्तियों से सुसज्जित जो जोड़ीदार रूप से आवागमन करती हैं; वह है,

$$\partial _{1}(\partial _{2}(r))=\partial _{2}(\partial _{1}(r))$$

व्युत्पत्तियों की प्रत्येक जोड़ी और प्रत्येक के लिए $r\in R$ है। जब केवल एक ही व्युत्पत्ति होती है तो सामान्यतः एक साधारण विभेदक वलय की बात की जाती है; अन्यथा, कोई आंशिक विभेदक वलय की बात करता है

विभेदक क्षेत्र विभेदक वलय है जो एक क्षेत्र भी है। एक विभेदक बीजगणित $A$ एक विभेदक क्षेत्र पर $K$ एक विभेदक वलय है जिसमें सम्मिलित है $K$ एक सबवलय के रूप में जैसे कि प्रतिबंध $K$ की व्युत्पत्तियों का $A$ की व्युत्पत्ति के बराबर $K.$ (एक अधिक सामान्य परिभाषा नीचे दी गई है, जो उस स्थिति के लिए पर्याप्त है $K$ एक क्षेत्र नहीं है, और अनिवार्य रूप से समतुल्य है जब $K$ एक क्षेत्र है.)

विट बीजगणित विभेदक वलय है जिसमें $\mathbb {Q}$ परिमेय संख्याओं का क्षेत्र सम्मिलित होता है। समान रूप से, यह विभेदक बीजगणित $\mathbb {Q}$ है तब से $\mathbb {Q}$ इसे विभेदक क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है जिस पर प्रत्येक व्युत्पत्ति शून्य कार्य है।

एक विभेदक वलय के स्थिरांक तत्व $r$ हैं ऐसा है कि $\partial r=0$ प्रत्येक व्युत्पत्ति $\partial$ के लिए, विभेदक वलय के स्थिरांक उपवलय बनाते हैं और भिन्न क्षेत्र के स्थिरांक उपक्षेत्र बनाते हैं। स्थिरांक का यह अर्थ एक स्थिर कार्य की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है, और इसे स्थिरांक के सामान्य अर्थ के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।

मूल सूत्र

निम्नलिखित पहचान में, $\delta$ एक विभेदक वलय $R$ की व्युत्पत्ति है

• अगर $r\in R$ और $c$ में एक स्थिरांक है (वह है, $\delta c=0$), तब
  $$\delta (cr)=c\delta (r).$$
• अगर $r\in R$ और $u$ में एक इकाई (वलय सिद्धांत) $R$ है तब
  $$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(\frac{r}{u}\right)=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(r)u-<!--\; -\; -->r\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{}$$