डिरिचलेट L-फलन

गणित में, डिरिचलेट L-श्रृंखला फॉर्म का एक फंक्शन (फलन) है।

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.$

जहां $\chi$ डिरिचलेट वर्ण है और जटिल चर है जिसका वास्तविक भाग 1 से अधिक है। यह डिरिचलेट श्रृंखला का एक विशेष स्तिथि है। विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा, इसे पूरे जटिल समतल पर मेरोमोर्फिक फंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है और फिर इसे डिरिचलेट L-फंक्शन कहा जाता है और L(s, χ) भी दर्शाया जाता है।

इन फ़ंक्शंस का नाम पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के नाम पर रखा गया है जिन्होंने अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य पर प्रमेय को साबित करने के लिए इन्हें (डिरिचलेट 1837) में पेश किया था जिसमें उनका नाम भी सम्मिलित है। प्रमाण के क्रम में, डिरिचलेट दर्शाता है कि s = 1 पर L(s, χ) गैर-शून्य है। इसके अलावा, यदि χ प्रिंसिपल है, तो संबंधित डिरिचलेट L-फंक्शन में s = 1 पर एक सरल ध्रुव होता है। अन्यथा, L-फंक्शन संपूर्ण होता है।

यूलर गुणनफल

चूँकि डिरिचलेट वर्ण χ पूरी तरह से गुणक है, इसलिए इसका L-फंक्शन पूर्ण अभिसरण के आधे-तल में यूलर गुणनफल के रूप में भी लिखा जा सकता है:

$L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,$

जहां गुणनफल सभी अभाज्य संख्याओं से अधिक है।

अभाज्य गुण

L-फंक्शन के बारे में परिणाम प्रायः अधिक सरलता से बताए जाते हैं यदि गुण को अभाज्य माना जाता है, हालांकि परिणाम सामान्यतः छोटी जटिलताओं के साथ अप्रभावी गुणों तक बढ़ाए जा सकते हैं। इसका कारण अभाज्य गुण के बीच का संबंध है $\chi$ और अभाज्य गुण $\chi ^{\star }$ मैं जो इसे प्रेरित करता है:

$\chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n),&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1\\0,&\mathrm {if} \gcd(n,q)\neq 1\end{cases}}$

(यहाँ, q χ का मापांक है।) यूलर गुणनफल का अनुप्रयोग संबंधित L-फंक्शन के बीच सरल संबंध देता है:

$L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right)$

(यह सूत्र विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा सभी s के लिए मान्य है, भले ही यूलर गुणनफल केवल तभी मान्य है जब Re(s) > 1.)  सूत्र से पता चलता है कि χ का L-फंक्शन आदिम चरित्र के L-फंक्शन के बराबर है जो χ को प्रेरित करता है, केवल सीमित संख्या में कारकों से गुणा किया जाता है।

विशेष स्तिथि के रूप में, मुख्य गुण का L-फंक्शन $\chi _{0}$ मॉड्यूलो क्यू को रीमैन ज़ेटा फंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s})$

फलनीयसमीकरण

डिरिचलेट L-फंक्शन फलनीयसमीकरण को संतुष्ट करते हैं, जो उन्हें पूरे जटिल समतल में विश्लेषणात्मक रूप से प्रवृत्त रखने की विधि प्रदान करता है। फलनीयसमीकरण $L(s,\chi )$ के मान को $L(1-s,{\overline {\chi }})$ के मान से संबंधित करता है। मान लीजिए कि χ अभाज्य गुण मॉड्यूलो q है, जहां q > 1. फलनीयसमीकरण को व्यक्त करने की एक विधि है:

$L(s,\chi )=\varepsilon (\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+a)\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}).$

इस समीकरण में, Γ गामा फंक्शन को दर्शाता है; a 0 है यदि χ(−1) = 1,या 1 यदि χ(−1) = −1; और

$\varepsilon (\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{a}{\sqrt {q}}}}$

जहां τ ( χ) एक गॉस योग है:

$$