वानियर कार्य

पैलेडियम नाइट्राइड में ट्रिपल- और सिंगल-बॉन्डेड नाइट्रोजन डिमर के वानियर कार्य।

वानियर फलन ठोस-अवस्था भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले ऑर्थोगोनल फलन का एक पूरा समूह है। उन्हें 1937 में ग्रेगरी वन्नियर द्वारा प्रस्तुत किया गया था। वेनियर फलन क्रिस्टल प्रणाली के स्थानीयकृत आणविक ऑर्बिटल्स हैं।

एक क्रिस्टल में विभिन्न जालक स्थलों के लिए वानियर कार्य ऑर्थोगोनल हैं जो कुछ व्यवस्थाओं में इलेक्ट्रॉन अवस्थाओ के विस्तार के लिए एक सुविधाजनक आधार की अनुमति देता है। वेनियर फलन का व्यापक उपयोग पाया गया है, उदाहरण के लिए इलेक्ट्रॉनों पर कार्य करने वाली बाध्यकारी शक्तियों के विश्लेषण में; 2006 में इंसुलेटर में घातीय कार्यात्मक रूप से स्थानीयकृत वानियर कार्यों का अस्तित्व सिद्ध हुआ था। विशेष रूप से इन कार्यों का उपयोग एक्सिटन्स और संघनित रिडबर्ग पदार्थ के विश्लेषण में भी किया जाता है।

परिभाषा

बेरियम टाइटेनेट (BaTiO3) में टाइटेनियम के स्थानीयकृत वेनियर फलन का उदाहरण

चूँकि स्थानीयकृत आणविक कक्षाओं की तरह वानियर कार्यों को कई अलग-अलग विधियों से चुना जा सकता है, मूल,ठोस-अवस्था भौतिकी में सबसे सरल और सबसे समान्य परिभाषा इस प्रकार है। एक पूर्ण क्रिस्टल में एकल इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना चुनें, और इसके बलोच अवस्थाओ को निरूपित करें

$\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$

जहां u_k(r) का आवर्तकाल क्रिस्टल के समान होता है। तब वानियर कार्यों द्वारा परिभाषित किया गया है

$\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$,

जहाँ

• R कोई जाली वेक्टर है (जिससे प्रत्येक ब्रावाइस जाली के लिए एक वानियर फलन है);
• N क्रिस्टल में आदिम कोशिकाओं की संख्या है;
• K पर योग में ब्रिलौइन ज़ोन (या पारस्परिक जाली के किसी अन्य आदिम सेल) में k के सभी मान सम्मिलित हैं जो क्रिस्टल पर आवधिक सीमा स्थितियों के अनुरूप हैं। इसमें 'N k के विभिन्न मान सम्मिलित हैं, जो ब्रिलौइन ज़ोन के माध्यम से समान रूप से फैले हुए हैं। चूंकि 'N' सामान्यतः बहुत बड़ा होता है, योग को प्रतिस्थापन नियम के अनुसार एक अभिन्न के रूप में लिखा जा सकता है:

$\sum _{\mathbf {k} }\longrightarrow {\frac {N}{\Omega }}\int _{\text{BZ}}d^{3}\mathbf {k}$

जहां BZ ब्रिलौइन ज़ोन को दर्शाता है, जिसका आयतन Ω है।

गुण

इस परिभाषा के आधार पर, निम्नलिखित गुणों को धारण करना सिद्ध किया जा सकता है:

• किसी भी जाली वेक्टर R' के लिए,

$\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )=\phi _{\mathbf {R} +\mathbf {R} '}(\mathbf {r} +\mathbf {R} ')$

दूसरे शब्दों में वानियर फलन केवल मात्रा (r − R) पर निर्भर करता है। परिणाम स्वरुप, इन कार्यों को अधिकांशतः वैकल्पिक संकेतन में लिखा जाता है

$\phi (\mathbf {r} -\mathbf {R} ):=\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )$

• बलोच कार्यों को वन्नियर कार्यों के संदर्भ में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

$\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )$,

जहां योग क्रिस्टल में प्रत्येक जाली सदिश R के ऊपर है।

• तरंग क्रिया का समूह $\phi _{\mathbf {R} }$ विचाराधीन बैंड के लिए एक अलौकिक आधार है।

$\begin{array}{rl}{\int <!--\; \int \; -->}_{\text{crystal}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathbf{R}}{(\mathbf{r})}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{{\mathbf{R}}^{\prime }}(\mathbf{r})d^3\mathbf{r}& =\frac{1}{N}\underset{\mathbf{k}\mathbf{,}{\mathbf{k}}^{\prime }}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_{\text{crystal}}{e}^{i\mathbf{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{R}}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{\mathbf{k}}{(\mathbf{r})}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->i{\mathbf{k}}^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{R}}^{\prime }}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{{\mathbf{k}}^{\prime }}(\mathbf{r})d^3\mathbf{r}\\ & =\frac{1}{N}\underset{\mathbf{k}\mathbf{,}{\mathbf{k}}^{\prime }}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}^{i\mathbf{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{R}}{e}^{-<!--\; -\; -->i{\mathbf{k}}^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{R}}^{\prime }}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathbf{k}\mathbf{,}{\mathbf{k}}^{\prime }}\\ & =\frac{1}{N}\underset{\mathbf{k}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}^{i\mathbf{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{(}}\end{array}$