अनुमेय नियम

This article is about लॉजिक सिस्टम में अनुमान के नियम. For निर्णय सिद्धांत में अवधारणा, see अनुमेय निर्णय नियम.

लॉजिक में, फॉर्मल सिस्टम में अनुमेय नियम अनुमेय है | यदि सिस्टम के वर्तमान नियमों में उस नियम को जोड़ने पर सिस्टम के प्रमेय का समुच्चय नहीं बदलता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक सुव्यवस्थित सूत्र जो उस नियम का उपयोग करके फॉर्मल प्रमाण हो सकता है | उस नियम के बिना पहले से ही व्युत्पन्न है, इसलिए अर्थ में, यह निरर्थक है। अनुमेय नियम की अवधारणा पॉल लॉरेंज (1955) द्वारा प्रस्तुत की गई थी।

सभी प्रतिस्थापनों के लिए σ को 'संरचनात्मक' कहा जाता है। (ध्यान दें कि संरचनात्मक शब्द जैसा कि यहां और नीचे प्रयोग किया गया है, क्रमिक कलन में संरचनात्मक नियमों की धारणा से संबंधित नहीं है।) संरचनात्मक परिणाम संबंध को 'प्रस्तावात्मक

परिभाषाएँ

प्रस्तावपरक लॉजिक गैर-मौलिक लॉजिक में केवल संरचनात्मक (अर्थात् प्रतिस्थापन (लॉजिक)बंद) नियमों के स्थिति में अनुमेयता का व्यवस्थित रूप से अध्ययन किया गया है | जिसका वर्णन हम आगे करेंगे।

मूलभूत तार्किक संयोजक का समुच्चय तय होने दें (उदाहरण के लिए, $\{\to ,\land ,\lor ,\bot \}$ सुपरिंट्यूशनिस्टिक लॉजिक के स्थिति में, या $\{\to ,\bot ,\Box \}$ मॉडल लॉजिक के स्थिति में) प्रस्तावित चर p के गणनीय समुच्चय समुच्चय से इन संयोजकों का उपयोग करके अच्छी तरह से बनाए गए सूत्र मुक्त रूप से बनाए गए हैं p₀, p₁, .... प्रतिस्थापन (लॉजिक) σ सूत्र से सूत्र तक का कार्य है | जो संयोजकों के अनुप्रयोगों के साथ संचार करता है | अर्थात,

$\sigma f(A_{1},\dots ,A_{n})=f(\sigma A_{1},\dots ,\sigma A_{n})$

प्रत्येक संयोजक एफ और सूत्र a₁, ... , a_n. के लिए (हम सूत्रों के समुच्चय के लिए प्रतिस्थापन भी प्रयुक्त कर सकते हैं | σΓ = {σA: A ∈ Γ}. बना सकते हैं ) टार्स्की-शैली का परिणाम संबंध है | $\vdash$ सूत्रों के समुच्चय और सूत्रों के बीच, जैसे कि

1. $A\vdash A,$
2. if $\Gamma \vdash A$ then $\Gamma ,\Delta \vdash A,$ ("weakening")
3. if $\Gamma \vdash A$ and $\Delta ,A\vdash B$ then $\Gamma ,\Delta \vdash B,$ ("composition")

सभी सूत्रों A, B और सूत्रों के समुच्चय Γ, Δ के लिए परिणामी संबंध ऐसा है |

4. if $\Gamma \vdash A$ then $\sigma \Gamma \vdash \sigma A$

सभी प्रतिस्थापनों के लिए σ को 'संरचनात्मक' कहा जाता है। (ध्यान दें कि संरचनात्मक शब्द जैसा कि यहां और नीचे प्रयोग किया गया है, क्रमिक कलन में संरचनात्मक नियम की धारणा से संबंधित नहीं है।) संरचनात्मक परिणाम संबंध को 'प्रस्तावात्मक लॉजिक' कहा जाता है। सूत्र A लॉजिक का प्रमेय है | $\vdash$ यदि $\varnothing \vdash A$.

उदाहरण के लिए, हम सुपरिंट्यूशनिस्टिक लॉजिक एल को उसके मानक परिणाम संबंध के साथ पहचानते हैं | $\vdash _{L}$ मूड समुच्चय करना और स्वयंसिद्धों द्वारा उत्पन्न, और हम इसके वैश्विक परिणाम संबंध के साथ सामान्य मोडल लॉजिक की पहचान करते हैं | $\vdash _{L}$ मॉडस पोनेंस, आवश्यकता, और (सिद्धांतों के रूप में) लॉजिक के प्रमेयों द्वारा उत्पन्न।

संरचनात्मक निष्कर्ष नियम (या केवल संक्षेप के लिए नियम) एक जोड़ी (Γ, बी) द्वारा दिया जाता है, जिसे सामान्यतः लिखा जाता है |

${\frac {A_{1},\dots ,A_{n}}{B}}\qquad {\text{or}}\qquad A_{1},\dots ,A_{n}/B,$

जहां Γ = {a₁, ... , a_n} सूत्रों का परिमित समुच्चय है, और B सूत्र है। इस नियम का 'उदाहरण' है |

$\sigma A_{1},\dots ,\sigma A_{n}/\sigma B$

प्रतिस्थापन के लिए σ नियम Γ/B 'व्युत्पन्न' है | $\vdash$, यदि $\Gamma \vdash B$. यह अनुमेय है यदि नियम के प्रत्येक उदाहरण के लिए, σB प्रमेय है जब भी σΓ से सभी सूत्र प्रमेय हैं। दूसरे शब्दों में, नियम अनुमेय है | यदि वह लॉजिक में जोड़े जाने पर, नए प्रमेयों को जन्म नहीं देता है। हम भी लिखते हैं $\Gamma \mathrel {|\!\!\!\sim } B$ यदि Γ/B अनुमेय है। (ध्यान दें कि ${\phantom {.}}\!{|\!\!\!\sim }$ अपने आप में संरचनात्मक परिणाम संबंध है।)

प्रत्येक व्युत्पन्न नियम अनुमेय है | किन्तु सामान्यतः इसके विपरीत नहीं लॉजिक संरचनात्मक रूप से पूर्ण है | यदि प्रत्येक अनुमेय नियम व्युत्पन्न है, अर्थात, ${\vdash }={\,|\!\!\!\sim }$. अच्छी तरह से व्यवहार तार्किक संयुग्मन संयोजी (जैसे अधीक्षणवादी या मोडल लॉजिक्स) के साथ लॉजिकशास्त्र में, नियम $A_{1},\dots ,A_{n}/B$ के समान है | $A_{1}\land \dots \land A_{n}/B$ अनुमेयता और व्युत्पन्नता के संबंध में इसलिए यह केवल एकात्मक संचालन नियम A/B से निपटने के लिए प्रथागत है।

उदाहरण

• मौलिक लॉजिक (सीपीसी) संरचनात्मक रूप से पूर्ण है। वास्तव में, मान लें कि ए/बी गैर-व्युत्पन्न नियम है, और असाइनमेंट v तय करें जैसे v(A) = 1, और v(B) = 0 प्रतिस्थापन σ परिभाषित करें जैसे कि प्रत्येक चर p के लिए, σp = $\top$ यदि v (p) = 1, और σp = $\bot$ यदि v(p) = 0. तो σA प्रमेय है, किन्तु σB नहीं है (वास्तव में, ¬σB प्रमेय है)। इस प्रकार नियम ए/बी भी अनुमेय नहीं है। (वही लॉजिक किसी भी बहु-मूल्यवान लॉजिक एल पर प्रयुक्त होता है | जो तार्किक मैट्रिक्स के संबंध में पूरा होता है | जिनके सभी तत्वों का नाम एल की भाषा में होता है।)
• जॉर्ज क्रेज़ेल-हिलेरी पटनम नियम (जिसे रोनाल्ड हैरोप के नियम या आधार नियम की स्वतंत्रता के रूप में भी जाना जाता है)

$({\mathit {KPR}})\qquad {\frac {\neg p\to q\lor r}{(\neg p\to q)\lor (\neg p\to r)}}$

अंतर्ज्ञानवादी लॉजिक (आईपीसी) में अनुमेय है। वास्तव में, यह प्रत्येक अंधज्ञानवादी लॉजिक में अनुमेय है। दूसरी ओर सूत्र है |

$(\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}p\to <!--\; \to \; -->q\vee <!--\; \vee \; -->r)\to <!--\; \to \; -->((\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}p\to <!--\; \to \; -->q)\vee <!--\; \vee \; -->(\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}p\to <!--\; \to \; -->r))$